从数据流中随机取m个数

还记得百度网页搜索部面试的时候，面试官问了这个问题，回答的一塌糊涂，今天恰好找到了这个答案，记录一下，对了还发现了一个非常好的网站，是关于程序员面试算法的
http://www.jiuzhang.com/problem/
Q:有一个很大很大的输入流，大到没有存储器可以将其存储下来，而且只输入一次，如何从这个输入流中等概率随机取得m个记录。

A:开辟一块容纳m个记录的内存区域，对于数据流的第n个记录，以m/n的概率将其留下（前m个先存入内存中，从第m+1个开始），随机替换m个已存在的记录中的一个，这样可以保证每个记录的最终被选取的概率都是相等的。

面试官视角：

这个题目除了需要给出正确解答以外，还需要证明你的解答。考察的是对概率随机问题的掌握情况和归纳法的运用。下面给出一个简单的证明：

设数据流中已经有n个记录流过，在内存中的m个记录中，假设都是等概率取得的，每个数命中的概率都为：m/n。对于第n+1个记录，以m/(n+1)的概率选中，

1)如果没有选中，则内存中的m个记录均被留下来，每个数【原来m个】留下来其概率为：m/n * (1-m/(n+1)) = m(n+1-m)/(n(n+1))；

2)如果选中，新留下来的数概率自然是m/(n+1)，而原来内存中的m个数中留下来m-1个数，每个数【原来m个】留下来的概率是：m/n*((m-1)/(n+1)) = m(m-1)/(n(n+1))。两种情况下概率之和为m(m-1)n(n+1)+m(n+1-m)n(n+1)=m/(n+1)，即为原来被选中数，继续被选中的概率。由此我们不难得出，内存中每个数被选中概率一直都是m/n。