B树，B+树，B*树

B树

B树，也叫B-树，就是B-Tree(BalanceTree)，是一种多路搜索树，它在文件系统中很有用，它不是二叉树，而是m（m>=3）叉树，具有以下特征：

树中每个节点至多有m个结点；

根节点子树个数在2---m；

非根节点子树个数在 m/2（m向上取整）-----m

排列规则：所有叶节点在同一层，按照递增次序排列。

所有的非终端结点中包含下列信息数据：

（n,A0,K1,A1,K2,…,Kn,An）

其中Ki为关键字，且Ki<Ki+1(i=1,…,n-1);Ai为指向子树根结点的指针，且指针Ai-1所指子树中所有结点的关键字均小于Ki，An所指子树中所有结点的关键字均大于Kn，n为关键字的个数。一个B-树示例：



B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点。B树的查找过程是一个顺时针查找结点和在结点的关键字中进行查找交叉进行的过程，主要用于文件的索引。

下面我们来分析一下B树的查找，在B树上进行查找包含两种基本操作：（1）在B树中找结点，（2）在结点中找关键字。由于B树通常存储在磁盘上，则前一查找操作是在磁盘上进行的，而后一查找操作是在内存中进行的，即在磁盘中找到指针p所指的结点后，先将结点中的信息读入内存，然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K的关键字。显然，在磁盘上查找比内存中耗费时间多得多，所以在磁盘上进行查找的次数，即待查关键字所在结点在B树上的层次数，是决定B树查找效率的首要因素。

B+树

B+树是B树的变形体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B树相同，除了以下几点：

非叶子结点的子树子树指针与关键字个数相同；

非叶子结点的子树指针Ai，指向关键字属于Ki----Ki+1的子树；

所有叶子结点增加一个链指针；

所有关键字都是叶子结点出现；

结构图如下：



B+树的搜索与B树也基本相同，区别在于B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找。

B+树的特性：

所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

不可能在非叶子结点命中；

非叶子结点相当于叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

更适合文件索引系统。

B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针，结构图如下：



B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

下面总结三种B树的优势：

B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点。点所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3。