[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明:

(1). $F(x)$ 对任何 $x$ 有连续导数;

(2). 在任意闭区间 $[a,b]$ 上, 当 $\delta$ 足够小时, 可使 $F(x)$ 与 $f(x)$ 一致逼近 (即任给 $\ve>0$, 对一切 $x\in [a,b]$ 均有 $|F(x)-f(x)|<\ve$). (华东师范大学)

证明:

(1). $$\bex F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{x-\delta}^{x+\delta}f(u)\rd u\quad\sex{u=x+t}, \eex$$ $$\bex F'(x)=\frac{1}{2\delta}\sez{f(x+\delta)-f(x-\delta)}. \eex$$

(2). 由 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续知其一致连续, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st |x-y|\leq \delta\ra |f(x)-f(y)|<\ve, \eex$$ 而 $$\beex \bea |F(x)-f(x)|&=\sev{\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t-f(x)}\\ &\leq \frac{1}{2\delta} \int_{-\delta}^\delta |f(x+t)-f(x)|\rd t\\ &\leq \max_{|x-y|\leq \delta}|f(x)-f(y)|\\ &<\ve. \eea \eeex$$