[dp]最长公共子序列问题

最长公共子序列问题

给定两个字符串s1s2…sn和t1t2…tn。求出这两个字符串最长的公共子序列的长度.

限制条件：1<=n,m<=1000

输入：

n = 4

m = 4

s = "abcd"

t = "becd"

输出

3 ("bcd")

这个问题是被成为最长公共子序列（LCS）的著名问题。不妨用如下方式定义试试看：

定义：dp[i][j] = s[1]…s[i+1] 和 t[1]…t[j+1]对应的LCS的长度

由此，s[1]…s[i] 和 t[1]…t[j] 的公共子序列末尾追加上

(1)、s[i+1]

(2)、s[1] …s[i] 和 t[1] …t[j+1]的公共子序列

(3)、s[1] …s[i+1]和t[1]…t[j]的公共子序列

三者中的某一个，所以就有如下的递推关系成立：

 

(1) 当s[i+1] = t[j+1] 时，dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j]+1,dp[i][j+1],dp[i+1][j])

(2) 当s[i+1] !=t[j+1] 时，dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1],dp[i+1][j])

这个递推式可以用O(nm)的复杂度算出来，dp
[m]就是LCS的长度。

j         i	0	1(b)	2(e)	3(c)	4(d)
0	0	0	0	0	0
1(a)	0	0	0	0	0
2(b)	0	1	1	1	1
3(d)	0	1	1	2	2
4(d)	0	1	1	2	3

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int n,m;
char s[MAXN],t[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
while(cin>>n>>m)
{
scanf("%s",s);
scanf("%s",t);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < m; j++)
{
if(s[i] == t[j])
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;
else
dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
}
}
printf("%d\n",dp
[m]);
}
return 0;
}