#53 Maximum Subarray最大子串和

题目：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array

[−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]

,

the contiguous subarray

[4,−1,2,1]

has the largest sum =

6

.

题解：

比较经典的一个问题，是学习的好材料。

解1：穷举，O(n²)复杂度，意料中的超时。

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int subsum;
        int maxsum=nums[0];//注意这里不是int maxsum=<strong>0</strong>;
        int len=nums.length;
        for(int i=0;i<len;i++){
            subsum=0;
            for(int j=i;j<len;j++)
            subsum+=nums[i];
            maxsum=Math.max(subsum,maxsum);
        }
        return maxsum;
    }
}

解2：&&Kadane算法

这是我的解法。和Kadane算法 相似有没有，很激动有没有！由于相似，所以放在一起说明了。

首先有这样的结论，对于nums[1,...,n],如果nums[i,...,j]是满足和最大的子串，那么对于任意的i=<k<=j，有nums[i,...,k]的和大于0。利用一个数组sum[i]记录局部子串和。遍历数组，对于i，若sun[i-1]>0，则将nums[i]加入之前子串，并记录子串和sum[i]=sun[i-1]+nums[i]，否则nums[i]单开子串，记录子串和sum[i]=nums[i]。最后维护一个全局最大值max，即使返回的最大子串和。

public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] sum = new int[nums.length];
int maxsub = nums[0];
sum[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < nums.length; i++){
sum[i] = Math.max(nums[i], sum[i - 1] + nums[i]);
maxsub = Math.max(maxsub, sum[i]);
}
return maxsub;
}
}

Kadane算法 ：

原理：将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串nums[i...j]和任意k（i<=k<j），有nums[i...k]的和大于0。满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。

原理详细可参考：http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6859677

执行流程：从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。

以array={-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4}为例，通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

public class Solution {
public int maxSubArray（int[] nums） {
int max_ending_here = 0;
int max_so_far = nums[0];

for（int i = 0; i < nums.length; i++）{
if（max_ending_here < 0）
max_ending_here = 0;
max_ending_here += nums[i];
max_so_far = Math.max（max_so_far， max_ending_here）;
}
return max_so_far;
}
}

解3：分治法：

最大子串和的区间有以下三种情况（low，high分别为左右边界，mid为(low+high)/2）：(1)
区间完全在 A[low,mid-1]；(2) 区间完全在 A[mid+1,high]；(3)
区间包含有 A[mid]，等价于从中间元素开始往左累加的最大值
+ 从中间元素开始往右累加的最大值

public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
return divide(nums, 0, nums.length-1);
}
public int divide(int nums[], int low, int high){
if(low == high)
return nums[low];
if(low == high-1)
return Math.max(nums[low]+nums[high], Math.max(nums[low], nums[high]));

int mid = (low+high)/2;
int lmax = divide(nums, low, mid-1);
int rmax = divide(nums, mid+1, high);

int mmax = nums[mid];
int tmp = mmax;
for(int i = mid-1; i >=low; i--){
tmp += nums[i];
if(tmp > mmax)
mmax = tmp;
}
tmp = mmax;
for(int i = mid+1; i <= high; i++){
tmp += nums[i];
if(tmp > mmax)
mmax = tmp;
}
return Math.max(mmax, Math.max(lmax, rmax));
}
}