[BZOJ 1053] [HAOI 2007] 反素数ant
2015-05-24 21:35
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1053: [HAOI2007]反素数ant
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对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?
Input
一个数N(1<=N<=2,000,000,000)。Output
不超过N的最大的反质数。Sample Input
1000Sample Output
840【题解】
我一个蒟蒻怎么能自己想出来这题呢……不过总算理解了……
我还有好多数论知识没有掌握啊TAT
===========================================
首先,可以用组合数学证得,如果一个数n=a1x1×a2x2×……×akxk
那么,设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数
可推导出ex-phi(n)=(x1+1)(x2+1)...(xk+1)
上面的结论称为定理1
===========================================
通过计算可以得出当N在2000000000以内时,最多只有10个素因子
证明:2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e
上面的结论称为定理2
===========================================
小素因子多一定比大素因子多要优秀
小素因子多那么总因子多,ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。
上面的结论称为定理3
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然而推出这些神奇的结论后,我们发现——
我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。
然后就AC了……
看了黄学长的博客果断明白了这题……然而我觉得我这种蒟蒻应该多写点来锻炼。
贴上代码
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int n; int prime[11]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}; int ans=-1,ysans; void tryy(int zs,ll sum,int dq,int sy,int res) { if (ysans == res*(dq+1) && sum<ans) ans=sum; if (res*(dq+1) > ysans) {ysans = res*(dq+1); ans=sum; } if (dq+1<=sy && sum*prime[zs]<=n) tryy(zs,sum*prime[zs],dq+1,sy,res); for (int i=zs+1;i<=10;++i) if(sum*prime[i]<=n) tryy(i,sum*prime[i],1,dq,res*(dq+1)); } int main() { scanf("%d",&n); tryy(1,1,0,2147483000,1); printf("%lld\n",ans); return 0; }
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那个2147483000是我口胡的……因为你只要维护单调递减,而第一个数是什么并不影响。
可以证明,只需大于28即可……(有可能是错的,因为我看有人写20也A了。。)
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