Manacher算法 最长回文子串

回文串定义：“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。回文子串，顾名思义，即字符串中满足回文性质的子串。

经常有一些题目围绕回文子串进行讨论，比如POJ3974最长回文，求最长回文子串的长度。朴素算法是依次以每一个字符为中心向两侧进行扩展，显然这个复杂度是O(N^2)的，关于字符串的题目常用的算法有KMP、后缀数组、AC 自动机，这道题目利用扩展KMP可以解答，其时间复杂度也很快O(N*logN)。但是，今天笔者介绍一个专门针对回文子串的算法，其时间复杂度为O(n)，这就是manacher 算法。

大家都知道，求回文串时需要判断其奇偶性，也就是求aba 和abba 的算法略有差距。然而，这个算法做了一个简单的处理，很巧妙地把奇数长度回文串与偶数长度回文串统一考虑，也就是在每个相邻的字符之间插入一个分隔符，串的首尾也要加，当然这个分隔符不能再原串中出现，一般可以用‘#’或者‘$’等字符。例如：

原串：abaab

新串：#a#b#a#a#b#

这样一来，原来的奇数长度回文串还是奇数长度，偶数长度的也变成以‘#’为中心奇数回文串了。

接下来就是算法的中心思想，用一个辅助数组P 记录以每个字符为中心的最长回文半径，也就是P[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。P[i]最小为1，此时回文串为Str[i]本身。

我们可以对上述例子写出其P 数组，如下

新串： # a # b # a # a # b #

P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1

我们可以证明P[i]-1 就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。

证明：

1、显然L=2*P[i]-1 即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。

2、以Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度      的二倍，即原串长度为(L-1)/2，化简的P[i]-1。得证。 依次从前往后求得P 数组就可以了，这里用到了DP(动态规划)的思想，       也就是求P[i] 的时候，前面的P[]值已经得到了，我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。

为了防止求P[i]向两边扩展时可能数组越界，我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符，令P[0]=‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外，我们用mx变量记录在求i 之前的回文串中，延伸至最右端的位置，同时用id 记录取这个mx 的id 值。通过下面这句话，算法避免了很多没必要的重复匹配。
那么这句话是怎么得来的呢，其实就是利用了回文串的对称性，如下图，



j=2*id-1 即为i 关于id 的对称点，根据对称性，P[j]的回文串也是可以对称到i 这边的,但是如果P[j]的回文串对称过来以后超过mx 的话，超出部分就不能对称过来了，如下图，



所以这里P[i]为的下限为两者中的较小者，p[i]=min(p[2*id-i], mx-i)(如果p[j]的范围超出mx的话, 则p[i]就是mx-i)。算法的有效比较次数为mx 次，所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <queue>
#define N 110005
using namespace std;        //hdu3068 最长回文子串（manacher算法）
char str
, newstr[N<<1];     //新的字符串newstr， 输入的字符串str
int p[N<<1];
//模板
void init()        //通过输入的str建立新串newstr
{
int t, k, j=strlen(str);
newstr[0]='@';   //在串的开始加入另一个特殊字符， 可以避免对数组越界问题做特殊处理
newstr[1]='#';
for(t=0, k=2; t<j; ++t)
{
newstr[k++]=str[t];
newstr[k++]='#';
}
newstr[k]='\0';
return ;
}
int f()       ////新串的p[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度
{
int mx=0, id, i, ans=0, j=strlen(newstr);
for(i=1; i<j; ++i)
{
if(mx>i)
{
p[i]=min(p[2*id-i], mx-i);
}
else p[i]=1;
while(newstr[i+p[i]]==newstr[i-p[i]])
p[i]++;
if(p[i]+i>mx)
{
mx=p[i]+i;
id=i;
}
if(ans<p[i])
ans=p[i];
}
return ans-1; //p[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度
}

int main()
{
while(scanf("%s", str)!=EOF)
{
init();
printf("%d\n", f());
}
return 0;
}