平面最近点对问题—分治算法的经典应用

给一个题目链接：杭电1007 题目是求最近点对距离的一半

问题描述：给点平面上的一些点，求距离最近的两个点的距离是多少？（引用别人一张图）



思路：分治思想：把这些点按横坐标排序，然后横向分治即可。问题的核心在于，合并时如何更新最近距离？此时，需要用到一个解此问题的核心知识点：假设分治后的左右两区间的所有点已经按纵坐标从小到大已经排好序，那么，某点，可能成为，“最近点对”的一个点，的可能情况，只能是：与其在“纵向（y排序）有序表”的“下标差”小于等于7的点，形成一个点对。这个知识点需要用到鸽舍原理（我也不懂自行百度就好），对于这个问题，可以参考：《算法与设计分析》郑宗汉编著2005年出版。里面讲的挺详细的。

其实我觉得：O(lN og N)和O(N log N log N)的速度应该差不多。在我的理解来看，那些用了一个附加数组来排序的时候，会用到sort，但是sort本身排序就是N log N，所以加上分治的话，其算法的复杂度实际上是 N log N log N。但是如果要做到N log N其实也不难，只要我们在分治的时候，顺便完成一次归并排序就行了。归并排序复杂度是 N log N，和本题的分治复杂度一致，所以总的就相当于2N log N。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
struct node{
double x,y;
bool operator <(const node &a) const{
return x<a.x;
}
}A[maxn];

double dfs(int L,int R,vector<int> &t){//用t来存储[L,R]的点按y从小达到大排序后的情况
if(R-L<=1){
if(R==L) {t.push_back(L);return INF;}//表示oo
if(A[L].y>A[R].y) swap(L,R);
t.push_back(L);t.push_back(R);
return sqrt(pow(A[L].x-A[R].x,2.0)+pow(A[L].y-A[R].y,2.0));
}
vector<int> tl,tr;//存储左右区间按y排序的的结果
double Min;
Min=min(dfs(L,(L+R)/2,tl),dfs((L+R)/2+1,R,tr));//横向分治
int i=0,j=0,m,n;
m=tl.size();n=tr.size();
while(i<m || j<n)//这里实际上就是归并排序的：合并两个有序表
if(j>=n || (i<m && A[tl[i]].y<A[tr[j]].y)) t.push_back(tl[i++]);
else t.push_back(tr[j++]);
//枚举每一个点与其在纵向上最近（在t中的下标差小于等于7）的7个点的距离
for(i=0;i<t.size();i++) for(j=1;j+i<t.size() && j<=7;j++){
int x=t[i],y=t[i+j];
Min=min(Min,sqrt(pow(A[x].x-A[y].x,2.0)+pow(A[x].y-A[y].y,2.0)));
}
return Min;
}

int main(){
int n;
while(cin>>n && n){
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lf %lf",&A[i].x,&A[i].y);
sort(A,A+n);
vector<int> t;
printf("%.2f\n",dfs(0,n-1,t)/2);
}
return 0;
}