【NOI2010】【BZOJ2005】能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

Source

数学题

就这么一个傻逼题…我简直了各种读错题然后各种不对= =最后终于读对了水过…

其实只是不会写了Crash的数字表格来找点水题求安慰的QAQ

这么水的反演真是少见= =

令f(i)代表gcd(i,j)=i的数目

暴力枚举所有gcd(i,j)的值,答案就是∑i=1min(x,y)f(i)∗(2∗i−1)\sum_{i=1}^{min(x,y)}f(i)*(2*i-1)

枚举除法求f(i)O(n√)O(\sqrt n),最后O(nn√)O(n\sqrt n)随便虐…

然而这逗比题真是跪了

一开始题目读错程序里没调用线筛函数两个样例竟然还能各种正确= =害得我没有1A

[code]#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m;
bool not_prime[MAXN];
int prime[MAXN],top,mu[MAXN]={0,1};
int prev[MAXN];
long long ans;
void check_prime()
{
    for (int i=2;i<=MAXN-10;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
            prime[++top]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=MAXN-10;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
long long get_num(int a,int b,int k)
{
    int last=0;
    long long ret=0;
    a/=k;b/=k;
    for (int i=1;i<=min(a,b);i=last+1)
    {
        last=min(a/(a/i),b/(b/i));
        ret+=(long long)(a/i)*(b/i)*(prev[last]-prev[i-1]);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    check_prime();
    for (int i=1;i<=MAXN-10;i++) prev[i]=prev[i-1]+mu[i];
    for (int i=1;i<=min(m,n);i++) ans+=get_num(n,m,i)*(2*i-1);
    cout<<ans<<endl;
}