bzoj2876 [Noi2012]骑行川藏 [二分+拉格朗日乘数法]
2015-05-21 09:19
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Description
蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。 由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响)。某一天他打算骑N段路,每一段内的路况可视为相同:对于第i段路,我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ,其中 si 表示这段路的长度, ki 表示这段路的风阻系数, vi' 表示这段路上的风速(表示在这段路上他遇到了顺风,反之则意味着他将受逆风影响)。若某一时刻在这段路上骑车速度为v,则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2(这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变,则他消耗能量(做功)E = ki ( v - vi' )2 s)。 设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ,请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。 【评分方法】 本题没有部分分,你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时,才能获得该测试点的满分,否则不得分。 【数据规模与约定】 对于10%的数据,N=1; 对于40%的数据,N<=2; 对于60%的数据,N<=100; 对于80%的数据,N<=1000; 对于所有数据,N <= 10000,0 <= Eu <= 108,0 < si <= 100000,0 < ki <= 1,-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。 【提示】 必然存在一种最优的体力方案满足:蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。
Input
第一行包含一个正整数N和一个实数Eu,分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段,每行有3个实数 si , ki , vi' ,分别表示第 i 段路的长度,风阻系数以及风速。
Output
输出一个实数T,表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间,要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input
3 10000 10000 10 5 20000 15 8 50000 5 6
Sample Output
12531.34496464 【样例说明】 一种可能的方案是:蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式,其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。
Solution
不要看我,我是数学渣。大爷题解
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 10005; const double eps = 1e-12; const double INF = 1e9; int n; double E; double s[MAXN], k[MAXN], vv[MAXN]; double v[MAXN]; double cal(double lambda) { double tot = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { double l = max(0.0, vv[i]), r = INF; while (l + eps < r) { double mid = (l + r) / 2; v[i] = mid; if (2 * lambda * k[i] * v[i] * v[i] * (v[i] - vv[i]) < 1) l = mid; else r = mid; } v[i] = (l + r) / 2; tot += k[i] * (v[i] - vv[i]) * (v[i] - vv[i]) * s[i]; } return tot; } int main() { scanf("%d %lf", &n, &E); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf %lf %lf", &s[i], &k[i], &vv[i]); double l = 0, r = INF; while (l + eps < r) { double mid = (l + r) / 2; if (cal(mid) >= E) l = mid; else r = mid; } double ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++) ans += s[i] / v[i]; printf("%.6lf\n", ans); return 0; }
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