【小白话通信】离散分布之间的关系

前面文章《离散分布的产生》中，主要讲述了如何通过均匀分布来产生各种离散分布。下面我给出一些离散分布之间的关系，从而可以由一种已知的分布来产生另一种分布。

伯努利分布、二项分布与多项分布

伯努利分布

定义：一个离散随机变量X的取值仅为0和1X的取值仅为0和1，且其分布律P(X=1)=p,P(X=0)=1−pP\left( {X = 1} \right) = p,P\left( {X = 0} \right) = 1 - p则此随机变量服从伯努利分布。

实例：抛硬币就是伯努利分布，伯努利分布产生的结果就是1或则0（正面或则反面）。

二项分布

定义：设B1,B2,⋯,Bn(n∈N){B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n}\left( {n \in N} \right)为相互独立的服从参数为p(p∈[0,1])p(p \in \left[ {0,1} \right])的伯努利分布，定义随机变量：X=∑i=1nBiX = \sum\limits_{i = 1}^n {{B_i}} 那么，随机变量XX服从参数为(n,p)(n,p)的二项分布。

实例：由定义可知，二项分布就是n重伯努利分布。形象的说，抛n次硬币，出现正面朝上的次数服从二项分布。

多项分布

定义：设m∈N,pi∈[0,1]m \in N,p_i\in \left[ {0,1} \right] ，假设(Y1,Y2,⋯,Ym)\left( {{Y_1},{Y_2}, \cdots ,{Y_m}} \right)是一个离散型mm维随机变量。如果其联合分布律满足：对于k1,⋯,km=0,1,⋯,nk_1,\cdots,k_m= 0,1,\cdots,n，当其满足∑i=1mki=n\sum\limits_{i = 1}^m {{k_i} = n} 时，P(Y1=k1,⋯,Ym=km)=n!k1!⋯kn!pk11⋯pkmm P\left( {{Y_1} = {k_1}, \cdots ,{Y_m} = {k_m}} \right) = \frac{{n!}}{{{k_1}! \cdots {k_n}!}}p_1^{{k_1}} \cdots p_m^{{k_m}}

则称mm维随机变量(Y1,Y2,⋯,Ym)\left( {{Y_1},{Y_2}, \cdots ,{Y_m}} \right)服从参数为(n;p1,⋯,pm)\left( {n;{p_1}, \cdots ,{p_m}} \right)的mm项分布。

几何分布与负二项分布

几何分布

定义：设随机变量YY具有如下的分布律：P(Y=k)=(1−p)kp,其中p∈[0,1],k=0,1,⋯P\left( {Y = k} \right) = {\left( {1 - p} \right)^k}p, 其中p\in \left[ {0,1} \right], k=0,1,\cdots

则我们称YY服从几何分布。

实例：几何分布的物理意义就是实验成功前所经历的失败次数。拿掷硬币来说，假设正面朝上视为成功，服从该几何分布的随机变量的物理意义就是不断掷硬币直到出现正面朝上前，出现反面朝上的次数，也即是失败的次数。

重要性质：无记忆性,即对于整数s>ts >t，有下式成立：P(X>s|X>t)=P(X>s−t)P\left( {X > s\left| {X > t} \right.} \right) = P\left( {X > s - t} \right)

负二项分布

定义：设Y1,Y2,⋯,Ym{Y_1},{Y_2}, \cdots ,{Y_m}是mm个相互独立且服从相同的几何分布，那么，当随机变量ZZ满足下式：Z=∑i=1mYiZ = \sum\limits_{i = 1}^m {{Y_i}} 此时ZZ服从负二项分布，此时的分布律为：P(Z=k)=(k+m−1)!(m−1)!k!pm(1−p)k,k=0,1,⋯P\left( {Z = k} \right) = \frac{{\left( {k + m - 1} \right)!}}{{\left( {m - 1} \right)!k!}}{p^m}{\left( {1 - p} \right)^k},k=0,1,\cdots

实例：由定义可知，可以通过几何分布得到负二项分布。举例来说，若我们掷骰子，掷到1即视为成功。则每次掷骰的成功率是1/6。要掷出三次1，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, … }。掷到三次1的掷骰次数即是服从负二项分布的随机变量。

二项分布与泊松分布

关系：对于参数为(n,p)(n,p)的二项分布，如果参数n较大，p较小，那么我们可以用参数为λ=np\lambda=np的泊松分布来逼近。

实例：一个盒子里有144个鸡蛋，假如每个鸡蛋破碎的概率都为0.01，请问恰好有3个鸡蛋破碎的概率是多少？

显然，这是一个二项分布的问题。设随机变量XX表示鸡蛋破碎的个数，那么XX服从参数为(n=144,p=0.01)(n=144,p=0.01)的二项分布。因此在这144个鸡蛋中恰好有3个鸡蛋破碎的概率为：P(X=3)=C31440.0130.99144−3=0.1181P\left( {X = 3} \right) = C_{144}^3{0.01^3}{0.99^{144 - 3}} = 0.1181

如果用泊松分布进行逼近的话，可知XX服从参数为λ=np\lambda=np的泊松分布，则概率近似等于P(X=3)=1.4433!e−1.44=0.1179P\left( {X = 3} \right) = \frac{{{{1.44}^3}}}{{3!}}{e^{ - 1.44}} = 0.1179比较上面两种计算概率的方法，很明显第二种方法的计算量要小于第一种，因此当n较大，p较小时，我们常常用泊松分布来近似计算概率。

原文：/article/1509024.html

作者：nineheadedbird