完全背包---动态规划
2015-05-15 10:35
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描述
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
输入
第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000)
输出
对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO)
样例输入
样例输出
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
输入
第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000)
输出
对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO)
样例输入
2 1 5 2 2 2 5 2 2 5 1
样例输出
NO 1
做这题之前必须先了解0-1背包,并知道解题思路
0-1背包的状态转移方程是
for i = 1 to N for v = V to Ci F [v] = max{F [v],F [v − Ci] + Wi} 完全背包就是不限制物品使用个数,可以无限使用,也就是可以重复放置一个物体
转移方程
for i = 1 to N for v = Ci to V F [v] = max(F [v], F [v − Ci] + Wi) 你会发现,这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。 为什么这个算法就可行呢?首先想想为什么01背包中要按照v递减的次序来 循环。让v递减是为了保证第i次循环中的状态F [i, v]是由状态F [i − 1, v − Ci]递 推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入 第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果F [i − 1, v − Ci]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加 选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结 果F [i, v − Ci],所以就可以并且必须采用v递增的顺序循环。这就是这个简单的 程序为何成立的道理。 还要补充一点关于d数组初始化的问题,
因为题中要求必须完全装满背包,也就是最后背包剩余体积为0才可以
所以我们初始化的d[0] = 0;其他的都初始化为负无穷
#include <stdio.h> #include <algorithm> #define INF -99999999 using namespace std; int d[50005]; int a[2005]; int w[2005]; int main(){ int t; scanf("%d", &t); while (t--){ int n, v; scanf("%d%d", &n, &v); d[0] = 0; for (int i = 1; i <= v; i++) d[i] = INF; for (int i = 0; i < n; i++){ scanf("%d%d", &a[i], &w[i]); } for (int i = 0; i < n; i++){ for (int j = a[i]; j <= v; j++){ d[j] = max(d[j], d[j - a[i]] + w[i]); } } if (d[v] < 0) printf("NO\n"); else printf("%d\n", d[v]); } return 0; }
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