回溯法解决0-1背包问题

[b]问题描述：[/b]

　　有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。
[b]回溯法：[/b]

　　01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！
上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值
double w[100];//各个物品的重量
double cw = 0.0;//当前背包重量
double cp = 0.0;//当前背包中物品价值
double bestp = 0.0;//当前最优价值
double perp[100];//单位物品价值排序后
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入

//按单位价值排序
void knapsack()
{
int i,j;
int temporder = 0;
double temp = 0.0;

for(i=1;i<=n;i++)
perp[i]=v[i]/w[i];
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
{
temp = perp[i];
perp[i]=perp[i];
perp[j]=temp;

temporder=order[i];
order[i]=order[j];
order[j]=temporder;
temp = v[i];
v[i]=v[j];
v[j]=temp;

temp=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=temp;
}
}
}

//回溯函数
void backtrack(int i)
{
double bound(int i);
if(i>n)
{
bestp = cp;
return;
}
if(cw+w[i]<=c)
{
cw+=w[i];
cp+=v[i];
put[i]=1;
backtrack(i+1);
cw-=w[i];
cp-=v[i];
}
if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右子数
backtrack(i+1);
}

//计算上界函数
double bound(int i)
{
double leftw= c-cw;
double b = cp;
while(i<=n&&w[i]<=leftw)
{
leftw-=w[i];
b+=v[i];
i++;
}
if(i<=n)
b+=v[i]/w[i]*leftw;
return b;

}

int main()
{
int i;
printf("请输入物品的数量和容量：");
scanf("%d %lf",&n,&c);
printf("请输入物品的重量和价值：");
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf("第%d个物品的重量：",i);
scanf("%lf",&w[i]);
printf("价值是：");
scanf("%lf",&v[i]);
order[i]=i;
}
knapsack();
backtrack(1);
printf("最有价值为：%lf\n",bestp);
printf("需要装入的物品编号是：");
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(put[i]==1)
printf("%d ",order[i]);
}
return 0;
}

[b]时间复杂度分析：[/b]

　　上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右子结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)