【递归】排列问题，整数划分问题，Hanoi

 

算法笔记——【递归】排列问题，整数划分问题，Hanoi问

   递归的概念想必大家都清楚，概念神马的直接略过。这里介绍递归相关的几个问题。

    1、排列问题

    设R={r1,r2,...,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合x中元素的全排列记为Perm(X)。(ri)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。R的全排列可归纳如下：

    当n=1时，Perm(R)=(r)，其中r是集合中唯一的元素；

    当n>1时，Perm(R)由(r1)Perm(R1),(r2)Perm(R2),(r3)Perm(R3)。。。。(rn)Perm(Rn)构成。

    程序代码：

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//2-4 排列问题  

#include "stdafx.h"  

#include <iostream>       

using namespace std;   

  

template <class Type>  

inline void Swap(Type &a,Type &b);  

  

template <class Type>  

void Perm(Type list[],int k,int m);  

  

int main()  

{  

    int list[3];  

    for(int i=0; i<3;i++)  

    {  

        list[i] = i+1;  

    }  

    Perm(list,0,2);  

    return 0;  

}  

  

template <class Type>  

inline void Swap(Type &a,Type &b)  

{  

    Type temp = a;  

    a = b;  

    b = temp;  

}  

  

template <class Type>  

void Perm(Type list[],int k,int m)  

{  

    //只剩下一个元素  

    if(k == m){  

        for(int i=0; i<=m; i++)  

        {  

            cout<<list[i]<<" ";  

        }  

        cout<<endl;  

    }  

    else  

    {  

        //将list[k:m}中的每一个元素分别与list[k]中的元素交换  

        //然后递归计算list[k+1:m]的全排列，将计算结果作为list[0:k]后缀  

        for(int i=k; i<=m;i++){  

            Swap(list[k],list[i]);  

            Perm(list,k+1,m);  

            Swap(list[k],list[i]);  

        }  

    }  

}  

       运行结果：



2、整数划分问题

    将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+n3+......nk(其中，n1>=n2>=......nk>=1,k>=1),正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数,记作p(n)。例如：正整数6有11总不同的划分

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

记q(n,m)为正整数n的所有不同划分中，最大加数n1不大于m的划分个数。可以建立如下递推关系:



前面三个递推式比较好理解，关键是第四个递推式。当n>m>1时，n的划分由两部分组成。以整数q(6,3)为例，q(n,m-1)内容是第5排和第6排内容，不大于2的6的划分；q(n-m,m)内容是第4排,不大于3的(6-3=3)的划分。

程序代码：

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//2-4 整数划分问题  

#include "stdafx.h"  

#include <iostream>       

using namespace std;  

  

int q(int n,int m);  

  

int main(){  

    cout<<q(6,6)<<endl;  

    return 0;  

}  

  

int q(int n,int m)  

{  

    if( n<1 || m<1)  

    {  

        return 0;  

    }  

    else if(n==1 || m==1)  

    {  

        return 1;  

    }  

    else if(n<m)  

    {  

        return q(n,n);  

    }  

    else if(n==m)  

    {  

        return q(n,m-1) + 1;  

    }  

    else  

    {  

        return q(n,m-1) + q(n-m,m);  

    }  

}  

3、汉诺塔问题

     这个问题大家都比较熟悉。这里直接给出程序清单。

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//2-6 Hanoi问题  

#include "stdafx.h"  

#include <iostream>       

using namespace std;  

  

void hanoi(int n,char a,char b,char c);  

  

int main(){  

    char a = 'A',b = 'B',c='C';  

    hanoi(3,a,b,c);  

    return 0;  

}  

  

//借助c,将n个盘子从a移到b  

void hanoi(int n,char a,char b,char c)  

{  

    if(n>0)  

    {  

        hanoi(n-1,a,c,b);//借助b,将n-1个盘子从a移到c  

        cout<<"将"<<a<<"中最大的盘子从"<<a<<"移到"<<b<<endl;  

        hanoi(n-1,c,b,a);//借助a，将n-1个盘子从c移到b  

    }  

}