BZOJ 3004 吊灯 树形DP

题目大意：给定一棵树，要求将这棵树分成nk\frac nk个连通块，每块大小为kk，求所有可行的kk

首先kk一定是nn的约数。(废话

然后我们有一个结论：某个kk满足条件当且仅当存在nk\frac nk个节点满足以每个节点为根的子树大小都是kk的倍数

证明：

首先不可能存在超过nk\frac nk个节点满足以每个节点为根的子树大小都是kk的倍数，这是废话

首先证明必要性：

假设我们已经有了一组合法的方案，那么对于每一个连通块，我们找到这个连通块中深度最小的节点，以这个节点为根的子树大小一定是kk的倍数

由于这样的节点有nk\frac nk个，因此必要性得证

下面来证明充分性：

假设现在我们已经找到了nk\frac nk个节点满足以每个节点为根的子树大小都是kk的倍数，那么：

首先我们从根节点出发开始DFS，每遇到一个节点满足以这个节点为根的子树大小是kk的倍数，就把这个节点为根的子树砍掉

这样做之后，我们得到了一个连通块和一些子树，其中连通块的大小为kk的倍数，且除根节点外其余nk−1\frac nk-1个节点都在那些子树中

对每个子树重复这一操作，一定能得到一组合法的方案

因此充分性得证

然后就好办了，我们搞出每个节点的sizesize(这里不要DFS，会T掉)，然后令fif_i表示大小为ii的子树个数，对于每个约数在ff数组中扫一遍即可

时间复杂度O(10∗σ(n))=O(10∗nloglogn)O(10*\sigma(n))=O(10*nloglogn)

[code]#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 1201001
using namespace std;
int n;
int divisors[2020],tot;
int fa[M],size[M],f[M];
void Initialize()
{
    memset(size,0,sizeof size);
    memset(f,0,sizeof f);
}
void Decomposition(int n)
{
    int i;
    for(i=1;i*i<n;i++)
        if(n%i==0)
            divisors[++tot]=i,divisors[++tot]=n/i;
    if(i*i==n)
        divisors[++tot]=i;
    sort(divisors+1,divisors+tot+1);
}
namespace IStream{
    #define L (1<<16)
    char Get_Char()
    {
        static char buffer[L],*S,*T;
        if(S==T)
        {
            T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin);
            if(S==T) return EOF;
        }
        return *S++;
    }
    int Get_Int()
    {
        int re=0;
        char c=Get_Char();
        while(c<'0'||c>'9')
            c=Get_Char();
        while(c>='0'&&c<='9')
            re=(re<<1)+(re<<3)+(c-'0'),c=Get_Char();
        return re;
    }
}
int main()
{
    //freopen("3004.in","r",stdin);
    //freopen("3004.out","w",stdout);
    using namespace IStream;
    int T,i,j;
    cin>>n;
    Decomposition(n);
    for(T=1;T<=10;T++)
    {
        printf("Case #%d:\n",T);
        Initialize();
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            if(T==1)
                fa[i]=Get_Int();
            else
                fa[i]=(fa[i]+19940105)%(i-1)+1;
        }
        for(i=n;i;i--)
            size[fa[i]]+=++size[i];
        for(i=1;i<=n;i++)
            f[size[i]]++;
        for(i=1;i<=tot;i++)
        {
            int temp=0;
            for(j=divisors[i];j<=n;j+=divisors[i])
                temp+=f[j];
            if(temp==n/divisors[i])
                printf("%d\n",divisors[i]);
        }
    }
    return 0;
}