【小白话通信】连续分布的产生

由于篇幅有限，前一篇文章《离散分布的产生》中只讲述了用均匀分布产生离散分布的方法，那么本文接着讲如何利用均匀分布产生连续分布的方法。

连续分布

连续分布主要有以下几种：均匀分布 伽马分布 正态分布 贝塔分布 柯西分布 对数正态分布 双指数分布。

产生各种连续分布的方法有很多，我把它分为两类：通用方法、特殊方法。特殊方法就是根据各个连续分布的特性而特有的方法。

通用方法

通用方法指的是对于各种连续分布理论上都适用的方法。下面只讲解分布函数法、舍取法这两种通用的方法。

分布函数法

概率积分变换定理

设随机变量XX有连续累计分布函数F(x)F(x)，令u=F(x)u=F(x)，则UU服从(0,1)(0,1)上的均匀分布。

由概率积分变换定理可知，如果知道一个连续分布函数的累计分布函数F(x)F(x)，则可以求得随机变量：X=F−1(U)X=F^{-1}(U)，其中YY服从0到10到1内的均匀分布。下面以指数分布来举例说明：

指数分布的累计分布函数F(x)F(x)可以表示为：

F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1 - {e^{ - \lambda x}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 0\\
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 3pt}x < 0
\end{array} \right.

由于U=F(X)U=F(X)服从(0,1)(0,1)上的均匀分布，则随机变量：X=F−1(U)=−Ln(1−U)λX=F^{-1}(U) = - \frac{{Ln\left( {1 - U} \right)}}{\lambda }。因此只需要产生服从(0,1)(0,1)上的均匀分布的UU，就可以计算得到服从指数分布的随机变量X。

指数分布　

%指数分布
%参数：到达率lambda
%mean=1/lamda,  var=1/lambda^2
clear all
close all
clc
lambda=1;%指数分布的产生lambda
n=10;%x的取值为0到无穷大，这里只取前n个

%------------------------由内置函数直接给出-------------------------%

%指数分布的产生，即事件发生的时间间隔x,x取值为0到正无穷
X=exprnd(1/lambda);%产生1均值为1/lamda的指数分布

%指数分布的cdf
x=0:.1:n;
Fx=expcdf(x,1/lambda);
%figure
%plot(x,Fx,'-')
%title('指数分布的cdf')

%指数分布的pdf
x=0:.1:n;
Px=exppdf(x,1/lambda);
figure
plot(x,Px,'r-')
hold on
title('指数分布的pdf')

%-------------------------由均匀分布推导出（分布函数法）-------------------------%
N=1000;%样本点数
U=rand(1,N);%U服从均匀分布

X2=-(log(1-U))/lambda;%X2服从指数分布，X2由分布函数法得到，对于不同的分布，分布函数不同，这里的表达式需作相应的改变！

%下面的程序是绘制X2的概率密度函数pdf
Max=ceil(max(X2));
step=1;%步长
range=0:step:Max;

for i=1:length(range)-1
    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;%统计落在区间中的点数
    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
end

plot(XX,YY,'bo')
hold on
title('指数分布的pdf')
legend('内置函数产生','分布函数法产生')

结果显示如下：(指数参数λ=1\lambda=1的情况)



分布函数法的局限性：由于该方法的关键就是求出分布函数的反函数，从而得到随机变量XX关于均匀分布随机变量UU的表达式。然而有些分布是不容易求得其反函数的，例如我们常见的正态分布，其分布函数需要用其概率密度函数表示如下：

F(x)=1σ2π−−√∫x−∞e−(t−u)22σ2dtF\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^x {{e^{ - \frac{{{{\left( {t - u} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dt

其中，uu和σ\sigma分布为均值和标准差。显然，当得知F(x)F(x)的取值时，也很难求得此时的xx的值。因此，当出现上述问题时，我们可以采用舍去法。

舍去法

定理：设随机变量Y,VY,V的概率密度函数分布为fY(y)、fV(v)f_{Y}(y)、f_{V}(v)，其中，fY(y)、fV(v)f_{Y}(y)、f_{V}(v)有相同的支撑集且

M=max{fY(y)/fV(v)}<+∞M =max\left\{f_{Y}(y)/f_{V}(v)\right\} < + \infty

按下列步骤可以生成随机变量YY服从概率密度为fY(y)f_{Y}(y)的分布：

1. 生成独立的随机变量U,VU,V，其中，UU服从00到11的均匀分布,VV服从概率密度函数为fV(v)f_{V}(v)的分布

2. 如果U<1MfY(V)/fV(V)U <\frac{1}{M}f_{Y}(V)/f_{V}(V),则令Y=VY=V，否则返回到步骤1。

下面以用舍去法生成正态分布来具体说明：假设我们要用舍取法生成标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数如下所示：



确定VV的分布

由舍取法的步骤2可知，生成的正态分布变量YY的取值包含于随机变量VV的取值中。因此，我们需要根据正态分布随机变量的取值范围，来选择VV应该服从的分布！我们一般取VV服从均匀分布（当然也可以取其他的分布，注意需要满足取值范围）。

理论上，正态随机变量的取值在整个实数域中，因此VV应该服从区间为实数域的均匀分布，显然这个均匀分布我们很难表示出来。但由上图可知，标准正态分布的取值基本在−5-5到55之间，因此我们只需要使得VV服从区间在−5-5到55的均匀分布即可以很好的近似。

确定MM的大小

在公式M=max{fY(y)/fV(v)}M =max\left\{f_{Y}(y)/f_{V}(v)\right\} 中，fV(v)=110{f_V}\left( v\right) = \frac{1}{{10}}，max{fY(y)}=fY(0)=12π√max\left\{f_{Y}(y)\right\} =f_{Y}(0)=\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}。因此M=102π√M=\frac{10}{{\sqrt {2\pi } }}

在确定了VV的分布以及MM的大小之后，便可以根据定理中步骤2的判决方法来生成服从指定分布的随机变量YY。具体的程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%
%参数：均值mu，方差sigma2
%mean=mu,  var=sigma2
clear all
close all
clc
mu=0;
sigma2=1;
n=10;%x的取值为正负无穷大，
%-------------------由内置函数直接给出----------------%
%正态分布的产生X
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布

%正态分布的cdf
x=0:.1:n;
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
% figure
% plot(x,Fx,'-')
% title('正态分布的cdf')

%指数分布的pdf
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
figure
plot(x,Px,'b-')
hold on

%------由舍选法推导出--------%

N=100;
A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间
B=5;

i=1;
while(i<=N)
    U=unifrnd(0,1);%服从（0,1）的均匀分布
    V=unifrnd(A,B);%服从（A,B）的均匀分布
    M=1/sqrt(2*pi)*(B-A);%计算得到M
    if(U<1/M*1/sqrt(2*pi*sigma2)*exp(-(V-mu)^2/2/sigma2));%由定理得到的公式来生成随机变量X2
        X2(i)=V;%X2就是我们要生成的指定分布的随机变量
        i=i+1;
    end  
end

%下面的程序是计算通过舍去法生成的正态分布X2的pdf
Max=ceil(max(X2));
step=1;
range=A:step:B;

for i=1:length(range)-1
    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;
    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
end

plot(XX,YY,'ro')
hold on
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','舍取法产生')

结果显示如下：



注意：使用这种方法的时候必须使VV服从合适的分布来保证M<+∞M<+\infty，如若找不到这样的分布，则可以参考Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法。

特殊方法

上述的两种通用方法基本上可以用均匀分布产生大多数连续分布，不过由于每种分布有着各自的特性，因此也可以通过特殊的方法来生成。下面以生成标准正态分布(正态分布性质表明：任何正态分布都可以由标准正态分布转化得到)为例：

中心极限定理法

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。（摘自维基百科）

我们由中心极限定理可知，多个独立同分布的随机变量的和服从正态分布，而关于这个正态分布的均值和方差的确定，我们可以依据林德伯格－列维定理：

林德伯格－列维(Lindeberg-Levy)定理：

设随机变量X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_n，且具有有限的数学期望E(Xi)=u,D(Xi)=σ2=0(i=1,2,⋯,n)E\left( {{X_i}} \right) = u,D\left( {{X_i}} \right) = {\sigma ^2} = 0\left( {i = 1,2, \cdots ,n} \right)。记X¯=1n∑i=1nXi,Y=X¯−uσ/n√\bar X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} ,Y = \frac{{\bar X - u}}{{\sigma /\sqrt n }}，则limn→∞P(Y<z)=Φ(z)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {Y < z} \right) = \Phi \left( z \right)，其中Φ(z)\Phi\left( z \right)是标准正态分布的分布函数。

在程序实现中，我利用1010个相互独立的服从区间−5到5-5到5的均匀分布来生成标准正态分布YY。而由公式可知，区间0到10到1的均匀分布的均值为u=−5+52=0,σ2=(5−(−5))2/12=100/12u=\frac{{ - 5 + 5}}{2}=0,\sigma^2=(5-(-5))^2/12=100/12.因此我们需要生成的服从标准正态的随机变量的表达式为：Y=X¯−0.5100/12√/n√Y = \frac{{\bar X - 0.5}}{{\sqrt {100/12}/\sqrt n }}。具体程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%
%参数：均值mu，方差sigma2
%mean=mu,  var=sigma2
clear all
close all
clc
mu=0;
sigma2=1;
n=10;%x的取值为正负无穷大，
%------------------由内置函数直接给出--------------%
%正态分布的产生X
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布

%正态分布的cdf
x=0:.1:n;
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
% figure
% plot(x,Fx,'-')
% title('正态分布的cdf')

%指数分布的pdf
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
figure
plot(x,Px,'b-')
hold on
%-------------------由中心极限定理推导出---------------------%
N=1000;%样本点数
A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间
B=5;

for i=1:10
U(i,1:N)=unifrnd(A,B,1,N);%U存储10个独立的服从均匀分布的随机变量
end
meanX=mean(U);
X2=(meanX-(A+B)/2)/sqrt((B-A)^2/12)*sqrt(10);%由林德伯格－列维定理的公式知X2服从正态分布
mean(X2);

%下面的程序是计算通过中心极限定理法生成的正态分布X2的pdf
Max=ceil(max(X2));
step=1;
range=A:step:B;

for i=1:length(range)-1
    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;
    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
end

plot(XX,YY,'ro')
hold on
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','中心极限定理法产生')

显示结果如下：

Box-Muller法

基本思想：假设U,VU,V是两个相互独立的且服从区间在0到10到1的均匀分布，并且随机变量X,YX,Y的表达式如下：

X=−2lnU−−−−−−√cos(2πV),Y=−2lnU−−−−−−√sin(2πV)X = \sqrt { - 2{\mathop{\rm lnU}\nolimits} } \cos \left( {2\pi V} \right),Y = \sqrt { - 2{\mathop{\rm lnU}\nolimits} } \sin \left( {2\pi V} \right)

则X,YX,Y是相互独立的，并且服从标准正态分布。

具体的程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%
%参数：均值mu，方差sigma2
%mean=mu,  var=sigma2
clear all
close all
clc
mu=0;
sigma2=1;
n=10;%x的取值为正负无穷大，
%--------------------由内置函数直接给出----------------------%
%正态分布的产生X
X=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布

%正态分布的cdf
x=0:.1:n;
Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));
% figure
% plot(x,Fx,'-')
% title('正态分布的cdf')

%指数分布的pdf
x=-5:.1:5;
Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));
figure
plot(x,Px,'r-')
hold on

%-----------------------Box-Muller法-----------------------%
N=1000;
U=rand(1,N);%U,V都是服从(0,1)的均匀分布
V=rand(1,N);
A=-5;
B=5;
R=sqrt(-2.*log(U));
theta=2*pi*V;

X2=R.*cos(theta);
Y2=R.*sin(theta);%X，Y都是服从n(0,1)的正态分布

%下面的程序是计算通过Box-Muller法生成的正态分布X的pdf
Max=ceil(max(X2));
step=1;
range=A:step:B;

for i=1:length(range)-1
    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;
    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;
end

plot(XX,YY,'bo')
hold on
title('正态分布的pdf')
legend('内部函数产生','Box-Muller法产生')

显示结果如下：



上面我们是以正态分布为例来讲述了特殊法的运用，主要是运用了正态分布与其他分布的关系：多个独立同分布的随机变量和服从正态分布；均匀分布与正态分布之间满足Box-Muller法中的关系。因此，当想要由一种分布生成另一种分布的时候，只需要知道它们之间的关系即可！

原文：/article/1509025.html

作者：nineheadedbird