压缩感知重构算法之广义正交匹配追踪(gOMP)

题目：压缩感知重构算法之广义正交匹配追踪(gOMP)

广义正交匹配追踪(Generalized OMP, gOMP)算法可以看作为OMP算法的一种推广，由文献[1]提出，第1作者本硕为哈工大毕业，发表此论文时在Korea University攻读博士学位。OMP每次只选择与残差相关最大的一个，而gOMP则是简单地选择最大的S个。之所以这里表述为“简单地选择”是相比于ROMP之类算法的，不进行任何其它处理，只是选择最大的S个而已。

0、符号说明如下：

压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

(1) y为观测所得向量，大小为M×1

(2)x为原信号，大小为N×1

(3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示

(4) Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N

(5) Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N

(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N

上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

注意：这里的稀疏表示模型为x=Ψθ，所以传感矩阵A=ΦΨ；而有些文献中稀疏模型为θ=Ψx，而一般Ψ为Hermite矩阵(实矩阵时称为正交矩阵)，所以Ψ-1=ΨH
(实矩阵时为Ψ-1=ΨT)，即x=ΨHθ，所以传感矩阵A=ΦΨH，例如沙威的OMP例程中就是如此。

1、gOMP重构算法流程：





2、广义正交匹配追踪(gOMP)MATLAB代码(CS_gOMP.m)

本代码完全是为了保证和前面的各算法代法格式一致，可以直接使用该实验室网站提供的代码[2]压缩包中的islsp_EstgOMP.m。

function [ theta ] = CS_gOMP( y,A,K,S )
%CS_gOMP Summary of this function goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-05-08
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%	y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
%   现在已知y和A，求theta
%   Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim.  Generalized
%   orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing,
%   vol. 60, no. 12, pp. 6202-6216, Dec. 2012.
%   Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf if nargin < 4
S = round(max(K/4, 1));
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y';%y should be a column vector
end
[M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)
Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
r_n = y;%初始化残差(residual)为y
for ii=1:K%迭代K次，K为稀疏度
product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
[val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列
Sk = union(Pos_theta,pos(1:S));%选出最大的S个
if length(Sk)==length(Pos_theta)
if ii == 1
theta_ls = 0;
end
break;
end
if length(Sk)>M
if ii == 1
theta_ls = 0;
end
break;
end
At = A(:,Sk);%将A的这几列组成矩阵At
%y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解
%At*theta_ls是y在At)列空间上的正交投影
r_n = y - At*theta_ls;%更新残差
Pos_theta = Sk;
if norm(r_n)<1e-6
break;%quit the iteration
end
end
theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
end

3、gOMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m)

以下测试代码基本与OMP单次重构测试代码一样。也可参考该实验室网站提供的代码[2]压缩包中的Test_gOMP.m。

%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = 128;%观测值个数
N = 256;%信号x的长度
K = 30;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
%% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_gOMP( y,A,K);
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
toc
%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差：');
norm(x_r-x)%恢复残差

运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）

1） 图：



2）Command windows

Elapsedtime is 0.155937 seconds.

恢复残差：

ans=

2.3426e-014

4、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

以下测试代码为了与文献[1]的Fig.1作比较。由于暂未研究学习LP算法，所以相比于文献[1]的Fig.1)缺少LP算法曲线，加入了SP算法。以下测试代码与SAMP相应的测试代码基本一致，可以合并在一起运行，只须在主循环内多加几种算法重构就行。

%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentagegOMP.m
%   绘制参考文献中的Fig.1
%   Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim.  Generalized
%   orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing,
%   vol. 60, no. 12, pp. 6202-6216, Dec. 2012.
%   Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf %   Elapsed time is 798.718246 seconds.(@20150509pm)
clear all;close all;clc;
%% 参数配置初始化
CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
N = 256;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
M_set = [128];%测量值集合
KIND = ['OMP      ';'ROMP     ';'StOMP    ';'SP       ';'CoSaMP   ';...
'gOMP(s=3)';'gOMP(s=6)';'gOMP(s=9)'];
Percentage = zeros(N,length(M_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率
%% 主循环，遍历每组(K,M,N)
tic
for mm = 1:length(M_set)
M = M_set(mm);%本次测量值个数
K_set = 5:5:70;%信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率
PercentageM = zeros(size(KIND,1),length(K_set));
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K
P = zeros(1,size(KIND,1));
fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K);
for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
%(1)OMP
theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(1) = P(1) + 1;
end
%(2)ROMP
theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(2) = P(2) + 1;
end
%(3)StOMP
theta = CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(3) = P(3) + 1;
end
%(4)SP
theta = CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(4) = P(4) + 1;
end
%(5)CoSaMP
theta = CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(5) = P(5) + 1;
end
%(6)gOMP,S=3
theta = CS_gOMP(y,A,K,3);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(6) = P(6) + 1;
end
%(7)gOMP,S=6
theta = CS_gOMP(y,A,K,6);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(7) = P(7) + 1;
end
%(8)gOMP,S=9
theta = CS_gOMP(y,A,K,9);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P(8) = P(8) + 1;
end
end
for iii = 1:size(KIND,1)
PercentageM(iii,kk) = P(iii)/CNT*100;%计算恢复概率
end
end
for jjj = 1:size(KIND,1)
Percentage(1:length(K_set),mm,jjj) = PercentageM(jjj,:);
end
end
toc
save KtoPercentage1000gOMP %运行一次不容易，把变量全部存储下来
%% 绘图
S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+'];
figure;
for mm = 1:length(M_set)
M = M_set(mm);
K_set = 5:5:70;
L_Kset = length(K_set);
for ii = 1:size(KIND,1)
plot(K_set,Percentage(1:L_Kset,mm,ii),S(ii,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
end
hold off;
xlim([5 70]);
legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',...
'gOMP(s=3)','gOMP(s=6)','gOMP(s=9)');
xlabel('Sparsity level K');
ylabel('The Probability of Exact Reconstruction');
title('Prob. of exact recovery vs. the signal sparsity K(M=128,N=256)(Gaussian)');

本程序在联想ThinkPadE430C笔记本（4GB DDR3内存，i5-3210）上运行共耗时798.718246秒，程序中将所有数据均通过“save KtoPercentage1000gOMP”存储了下来，以后可以再对数据进行分析，只需“load KtoPercentage1000gOMP”即可。

本程序运行结果：



文献[1]中的Fig.1：



5、结语

我很好奇：为什么相比于OMP算法就是简单每次多选几列，重构效果为什么这么好？居然比复杂的ROMP、CoSaMP、StOMP效果还要好……

该课题组还提出了MMP算法，可参见文献[3]。更多关于该课题组的信息可去官方网站查询：http://islab.snu.ac.kr/，也可直接查看发表的文章：http://islab.snu.ac.kr/publication.html。

文献[1]最后有两个TABLE，分别是算法的流程和复杂度总结：



谁能告诉我TABLE I表头中的DELETE在这里是什么意思啊？不是删除的意思么？

6、参考文献

【1】Jian Wang, Seokbeop Kwon,Byonghyo Shim. Generalized orthogonalmatching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 60, no. 12, pp.6202-6216, Dec. 2012.

Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf
【2】http://islab.snu.ac.kr/paper/gOMP.zip

【3】S. Kwon, J. Wang andB. Shim, Multipath matching pursuit, IEEE Transactions on Information Theory,vol. 60, no. 5, pp. 2986-3001, May 2014.

Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/TIT_MMP2014.pdf