《剑指Offer》学习笔记--面试题32:从1到n整数中1出现的次数
2015-05-12 12:25
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题目:输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
不考虑时间效率的解法,靠它想拿到Offer有点难
如果在面试的时候碰到这个问题,应聘者大多能想到最直观的方法,也就是累加1到n中每个整数1出现的次数。我们可以每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1.如果这个数字大于10,除以10之后再判断个位数字是不是1.基于这个思路,我们不难写出如下代码:
在上述思路中,我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n,n有O(logn)位,我们需要判断每一位是不是1,那么它的时间复杂度是O(n*logn)。当输入n非常大的时候,需要大量计算,运算效率不高。面试官不会满意这种算法,我们仍然需要努力。
从数字规律着手明显提高时间效率的解法,能让面试官耳目一新
如果不希望计算每个数字的1的个数,那就只能寻找1在数字中出现的规律了。为了找到规律,我们不妨用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分为两段,一段时从1到1345,另一段是从1346到21345.
我们先看从1346到21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位的情况。从1246到21345的数字中,1出现在10000~19999这10000个数字的万位中,一共出现了10000个。
值得注意的是,并不是对所有5位数而言在万位出现的次数都是10000个。对于万位是1的数字比如输入12345,1值出现在10000~12345的万位,出现的此时不是10000,而是2346次,也就是出去最高数字之后剩下的数字再加上1(即2345+1=2346次)。
接下来分析1出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中1346~21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2,我们可以再把1346~21345分成两段,1346~11345和11346~21345。每一段剩下的4位数字中,选择其中一位1,其余三位可以再0~9这10个数字中任意选择,因此根据排列组合原则,总共出现的次数是2*1000=2000。
至于从1到1345中1出现的次数,我们就可以用递归求得了。这也是我们为什么要把1~21345分成1~1345和1346~21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就变成1345,便于我们采用递归的思路。
基于前面的分析,我们可以写出如下代码(为了变成方便,我们先把数字转换成字符串):
不考虑时间效率的解法,靠它想拿到Offer有点难
如果在面试的时候碰到这个问题,应聘者大多能想到最直观的方法,也就是累加1到n中每个整数1出现的次数。我们可以每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1.如果这个数字大于10,除以10之后再判断个位数字是不是1.基于这个思路,我们不难写出如下代码:
int NumberOf1Between1AndN(unsigned int n) { int number = 0; for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i) number += NumberOf1(i); return number; } int NumberOf1(unsigned int n) { int number = 0; while(n){ if(n % 10 == 1) number++; n = n / 10; } return number; }
在上述思路中,我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n,n有O(logn)位,我们需要判断每一位是不是1,那么它的时间复杂度是O(n*logn)。当输入n非常大的时候,需要大量计算,运算效率不高。面试官不会满意这种算法,我们仍然需要努力。
从数字规律着手明显提高时间效率的解法,能让面试官耳目一新
如果不希望计算每个数字的1的个数,那就只能寻找1在数字中出现的规律了。为了找到规律,我们不妨用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分为两段,一段时从1到1345,另一段是从1346到21345.
我们先看从1346到21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位的情况。从1246到21345的数字中,1出现在10000~19999这10000个数字的万位中,一共出现了10000个。
值得注意的是,并不是对所有5位数而言在万位出现的次数都是10000个。对于万位是1的数字比如输入12345,1值出现在10000~12345的万位,出现的此时不是10000,而是2346次,也就是出去最高数字之后剩下的数字再加上1(即2345+1=2346次)。
接下来分析1出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中1346~21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2,我们可以再把1346~21345分成两段,1346~11345和11346~21345。每一段剩下的4位数字中,选择其中一位1,其余三位可以再0~9这10个数字中任意选择,因此根据排列组合原则,总共出现的次数是2*1000=2000。
至于从1到1345中1出现的次数,我们就可以用递归求得了。这也是我们为什么要把1~21345分成1~1345和1346~21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就变成1345,便于我们采用递归的思路。
基于前面的分析,我们可以写出如下代码(为了变成方便,我们先把数字转换成字符串):
int NumberOf1(const char* strN) { if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0') return 0; int first = *strN - '0'; unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN)); if(length == 1 && first == 0) return 0; if(length == 1 && first > 0) return 1; //假设strN是"21345" //numFirstDigit是数字10000~19999的第一个位中的数目 int numFirstDigit = 0; if(first > 1) numFirstDigit = PowerBase10(length - 1); else if(first == 1) numfirstDigit = atoi(strN + 1) + 1; //numOtherDigits是1346~21345 int numOtherDigits = first * (length-1) * PowerBase10(length-2); //numRecursive是1~1345中的数目 int numRecursive = NumberOf1(strN + 1); return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive; } int PowerBase10(unsigned int n) { int result = 1; for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i) result *= 10; return result; }这种思路是每次去掉最高位做递归,递归次数和位数相同。一个数字n有O(logn)位,因此这种思路的时间复杂度是O(logn),比前面的原始方法要好很多。
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