UVa11440 - Help Tomisu(数论)
2015-05-11 21:13
302 查看
题意:给定n和m,求[2,n!]中,所有质因子个数都大于m的个数
思路:ϕ(m!)表示小于m!并与m!互质的个数,而与m!互质的个数,他的质因子肯定不包含1-m,因此就是满足条件的。然后对于这题而言,则是要求n!中,不与m!互质的个数,答案取模100000007
那么先看一个证明:
求kn中与n互质的个数,答案为kϕ(n)。
ϕ(n)表示1-n中与n互质的个数,那么由此考虑[n
+ 1, 2n], [2n + 1, 3n]...这每个区间中的每个数字都等于1-n中数字加上kn,对于原来就与n不互质的个数,加上n仍会有一个质因子重复,所以仍然不行,那么对于原来互质的数x,gcd(x, n) = 1,那么可知gcd(x + kn, n) = 1,仍然是互质的,所以每隔n的区间与n互质的个数是相同的,所以答案kϕ(n)
所以对于这道题目,答案就变成了n!/m!ϕ(m!),那么问题只剩下如何求ϕ(m!)。
已知ϕ(n)求法为n∗(1−1/p1)∗(1−1/p2)....(1−1/pn)
(p为n的质因子),因此对于m!而言,分子为m!,分母为1
- m所有质数的(1−1/p)之乘积
到这里答案就可以求了,把m!消掉,得到n!/∏(1−1/pi)mod1000000007,先预处理那些表,每次去计算即可
先把题量刷上来!
思路:ϕ(m!)表示小于m!并与m!互质的个数,而与m!互质的个数,他的质因子肯定不包含1-m,因此就是满足条件的。然后对于这题而言,则是要求n!中,不与m!互质的个数,答案取模100000007
那么先看一个证明:
求kn中与n互质的个数,答案为kϕ(n)。
ϕ(n)表示1-n中与n互质的个数,那么由此考虑[n
+ 1, 2n], [2n + 1, 3n]...这每个区间中的每个数字都等于1-n中数字加上kn,对于原来就与n不互质的个数,加上n仍会有一个质因子重复,所以仍然不行,那么对于原来互质的数x,gcd(x, n) = 1,那么可知gcd(x + kn, n) = 1,仍然是互质的,所以每隔n的区间与n互质的个数是相同的,所以答案kϕ(n)
所以对于这道题目,答案就变成了n!/m!ϕ(m!),那么问题只剩下如何求ϕ(m!)。
已知ϕ(n)求法为n∗(1−1/p1)∗(1−1/p2)....(1−1/pn)
(p为n的质因子),因此对于m!而言,分子为m!,分母为1
- m所有质数的(1−1/p)之乘积
到这里答案就可以求了,把m!消掉,得到n!/∏(1−1/pi)mod1000000007,先预处理那些表,每次去计算即可
#include<cstdio> #include<cstring> const long long N = 10000005; const long long mod = 100000007; long long ispri ,fac ,phi ; long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){ if(!b) { x=1;y=0;return a; } long long d=exgcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x; return d; } long long inv(long long a,long long n){ long long x,y; exgcd(a,n,x,y); return (x+n)%n; } void get_table(){ fac[0]=fac[1]=1; phi[0]=phi[1]=1; for(long long i=2;i<N;i++){ fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod; if(ispri[i]){ phi[i]=phi[i-1]; continue; } phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%mod*inv(i,mod)%mod; for(long long j=i*i;j<N;j+=i) ispri[j]=1; } } int n,m; int main() { get_table(); while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n){ printf("%lld\n",((fac *phi[m]-1)%mod+mod)%mod); } return 0; }最近刷题感觉好少,光注意题量有感觉特别忙碌,总结也还没写。最近的课程也落下不少。。。
先把题量刷上来!
相关文章推荐
- UVa 11440 (欧拉函数) Help Tomisu
- uva 11440 - Help Tomisu(欧拉功能)
- UVA 11440 - Help Tomisu(欧拉函数)
- uva 11440 - Help Tomisu(欧拉函数)
- UVA 11440(p338)----Help Mr.Tomisu
- UVA 11440 Help Tomisu 数论+欧拉函数
- UVa 11440 Help Tomisu (数论欧拉函数)
- UVA 11440 Help Mr. Tomisu 欧拉phi函数
- 11440 - Help Tomisu(计数问题)
- [UVa 11440]Help Tomisu 数论 欧拉函数+拓欧逆元
- uva 11440 Help Mr. Tomisu 欧拉函数变种
- UVA 10862 - Connect the Cable Wires(数论 递推 高精度)
- UVA 10375 Choose and divide(数论)
- UVA 10581 - Partitioning for fun and profit(数论递推)
- UVA 1426 - Discrete Square Roots(数论)
- UVa 11752 - The Super Powers (数论)
- UVA 11384(p25)----Help is needed for Dexter
- UVA-11384 Help is needed for Dexter
- UVA-11526H(n)(数论)
- UVA 10140 - Prime Distance(数论)