POJ 2186 popular cow 有向图的强联通问题 Tarjan算法

参考：http://hi.baidu.com/1093782566/blog/item/e5a0e9229913bd048b82a175.html
http://www.cppblog.com/IronOxide/archive/2010/08/16/123622.html?opt=admin
题目简述：n头奶牛，给出若干个欢迎关系a b，表示a欢迎b，欢迎关系是单向的，但是是可以传递的。另外每个奶牛都是欢迎他自己的。求出被所有的奶牛欢迎的奶牛的数目。

模型转换：N个顶点的有向图，有M条边（N≤10000,M≤50000）。求一共有多少个点，满足这样的条件：所有其它的点都可以到达这个点。

首先，这个题的N和M都非常大，硬做是肯定不行的。考虑如果这个图是一棵树，那么问题就变的很简单了，因为至多有一个点满足条件，这个点满足条件的充要条件是：这个点是树中唯一的出度为0的点。

那么我们能否把图转化为树呢？首先可以想到的是，如果图中包含有环，那么就可以把这个环缩成一个点，因为环中的任意两个点可以到达，环中所有的点具有相同的性质，即它们分别能到达的点集都是相同的，能够到达它们的点集也是相同的。缩点后的图必无环，否则，可将环上所有点也缩成一个点，与极大强联通分量矛盾。

那么是否只有环中的点才具有相同的性质呢？进一步的考虑，图中的每一个极大强连通分支中的点都具有相同的性质。所以，如果把图中的所有极大强连通分支求出后，就可以把图收缩成一棵树，问题就迎刃而解了。
预备知识：有向图的强连通分量的求法，这个和求割点的算法差不多。

算法框架：对有向图求强连通分量，然后找出所有独立的强连通分量（所谓独立，就是该连通分量里面的点到外面的点没有通路，当然，连通分量外的点是可以有路到强连通分量内的点的），如果独立的强连通分量的数目只有一个，那么，就输出这个强连通分量内解的个数，否则输出无解。只要找到缩点后的图中无出度的点的个数，设为cnt, 若 cnt > 1 , 则必无满足条件的点，因为一个出度为

零的点无法到达另一个出度为零的点；若cnt = 1 , 则该点所对应的强联通分量的点的个数即为答案。

算法证明：
1：假设a和b都是最受欢迎的cow，那么，a欢迎b，而且b欢迎a，于是，a和b是属于同一个连通分量内的点，所有，问题的解集构成一个强连通分量。
2：如果某个强连通分量内的点a到强连通分量外的点b有通路，因为b和a不是同一个强连通分量内的点，所以b到a一定没有通路，那么a不被b欢迎，于是a所在的连通分量一定不是解集的那个连通分量。
3：如果存在两个独立的强连通分量a和b，那么a内的点和b内的点一定不能互相到达，那么，无论是a还是b都不是解集的那个连通分量，问题保证无解。

4：如果图非连通，那么，至少存在两个独立的连通分量，问题一定无解。

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#include <iostream>  

#include <stack>  

#include <cstring>  

using namespace std;  

  

const int MAXN = 10000 + 10;     // 点的最大数量  

const int MAXM = 50000 + 10;     // 边的最大数量  

  

// 假设对边u-->v  

struct EDGE  

{  

 int v;                    // 从u点出发能到达的点v  

 int next;                 // 从u点出发能到达的下一条边的编号  

};  

  

stack<int> s;  

EDGE edge[MAXM];  

int low[MAXN];             // low[u]：是u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号  

int dfn[MAXN];             // dfn[u]：节点u搜索的次序编号(时间戳)  

int first[MAXN];             // first[u] = e：从点u出发的最后一条边的编号是e(“最后”是指最后输入)  

int sccf[MAXN];            // sccf[i] = j：第i个点所在的强连通分量的编号  

bool ins[MAXN];            // 是否在栈中  

int outdegree[MAXN];       // 强连通分量的出度  

int index;                 // 次序编号  

int scc;                   // 强连通分量的数目  

int n, m;  

  

  

void Init()  

{  

    scc = 0;  

    index = 1;  

    memset(low, 0, sizeof(low));  

    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));  

    memset(ins, false, sizeof(ins));  

    memset(sccf, 0, sizeof(sccf));  

    memset(first, -1, sizeof(first));  

}  

  

void Tarjan(int u)  

{  

    int v;  

    low[u] = dfn[u] = index++;  

    s.push(u);  

    ins[u] = true;  

    // 枚举每一条边：u-->v  

    for (int k=first[u]; k!=-1; k=edge[k].next)  

    {  

        v = edge[k].v;  

        if (dfn[v] == 0)  

        {  

            Tarjan(v);  

            low[u]=min(low[u],low[v]);  

        }  

        else if (ins[v])  

        {  

            low[u]=min(low[u],dfn[v]);  

        }  

    }  

    // 如果节点u是强连通分量的根  

    if (dfn[u] == low[u])  

    {  

        scc++;  

        do  

        {  

            v = s.top();  

            s.pop();  

            ins[v] = false;  

            sccf[v] = scc;  

        }while (u != v);  

    }  

}  

  

  

  

  

  

// 获得超级受喜欢的cows的数量  

  

int GetSuperPopularNum()  

{  

    int u, v;  

    int cnt = 0;    // 出度为0的强连通分量的数目  

    int ct[MAXN];    // ct[i] = j：强连通分量i有j个点  

  

    memset(outdegree, 0, sizeof(outdegree));  

    memset(ct, 0, sizeof(ct));  

  

  

  

    // 枚举每一个点u：求outdegree和ct  

    for (u=1; u<=n; u++)  

    {  

        ct[sccf[u]]++;  

        for (int k=first[u]; k!=-1; k=edge[k].next)  

        {  

            // 对每条边u-->v  

            v = edge[k].v;  

            if (sccf[u] != sccf[v])  

            {  

                outdegree[sccf[u]]++;  

            }  

        }  

    }  

  

    // 数数强连通分量为0的点有多少个  

    for (u=1; u<=scc; u++)  

    {  

        if (outdegree[u] == 0)  

        {  

            cnt++;  

            v = u;  

        }  

    }  

  

    return (cnt == 1)? ct[v] : 0;  

}  

  

  

  

int main()  

{  

    int i, u, v;  

    int e = 0;      // 边的数量，建图时会用到  

  

    // 初始化数据并建图  

    Init();  

    cin >> n >> m;  

    for (i=0; i<m; i++)  

    {  

        cin >> u >> v;  

        edge[e].v = v;  

        edge[e].next = first[u];  

        first[u] = e;  

        e++;  

    }  

  

    // 求强连通分量  

    for (i=1; i<=n; i++)  

    {  

        if (dfn[i] == 0)  

        {  

            Tarjan(i);  

        }  

    }  

  

    // 输出答案  

    cout << GetSuperPopularNum() << endl;  

  

    return 0;  

}