MATLAB绘制B样条曲线
2015-05-09 18:50
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1 B样条曲线
1.1 B样条曲线定义
B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能,是形状数学描述的主流方法之一,另外B样条方法是目前工业产品几何定义国际标准——有理B样条方法(NURBS)的基础。B样条方法兼备了Bezier方法的一切优点,包括几何不变性,仿射不变性等等,同时克服了Bezier方法中由于整体表示带来不具有局部性质的缺点(移动一个控制顶点将会影响整个曲线)。B样条曲线方程可写为:p(u)=∑i=0ndiNi,k(u)
其中,di(i=0,1...n)为控制顶点(坐标),Ni,k(i=0,1...n)为k次规范B样条基函数,最高次数是k。基函数是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U:u0≤u1≤...≤un+k+1所决定的k次分段多项式。
B样条的基函数通常采用Cox-deBoor递推公式:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ni,0(u)={1, if ui≤u≤ui+10, othersNi,k=u−uiui+k−uiNi,k−1(u)+ui+k+1−uui+k+1−ui+1Ni+1,k−1(u)define 00=0
式中 i 为节点序号, k 是基函数的次数,共有n+1个控制顶点。注意区分节点和控制顶点,节点是在节点矢量U中取得,控制顶点则是坐标点,决定B样条的控制多边形。Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核心,该部分在程序中实现可采用递归的方式:
% BaseFunction.m文件 function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector) % 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量 if k == 0 % 0次B样条 if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2)) Nik_u = 1.0; else Nik_u = 0.0; end else Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1); Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2); % 支撑区间的长度 if Length1 == 0.0 % 规定0/0 = 0 Length1 = 1.0; end if Length2 == 0.0 Length2 = 1.0; end Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ... + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector); end
所给程序可用于计算基函数Ni,k(u)的值,程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点矢量 NodeVector 的取值不同。
1.2 B样条曲线的分类
根据节点矢量中节点的分布情况不同,可以划分4中类型的B样条曲线:1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布。
2. 准均匀B样条曲线
其节点矢量中两端节点具有重复度k+1,即u0=u1=...=uk,un+1=un+2=...=un+k+1,所有的内节点均匀分布,具有重复度1。
3. 分段Bezier曲线
其节点矢量中两端节点的重复度与类型2相同,为k+1。不同的是内节点重复度为k。该类型有限制条件,控制顶点数减1必须等于次数的正整数倍,即nk=正整数。
4. 一般非均匀B样条曲线
对任意分布的节点矢量U=[u0,u1...un+k+1],只要在数学上成立都可选取。
2 B样条曲线的绘制
2.1 节点矢量的确定
不同类型的B样条曲线区别主要在于节点矢量,对于具有n+1个控制顶点(P0,P1,...,Pn)的 k 次B样条曲线,无论是哪种类型都具有n+k+2个节点([u0,u1...un+k+1])。根据图示,三种类型的B样条曲线对应的节点矢量分别为:
[01727374757671] [0 0 013231 1 1] [0 0 012121 1 1] 需要注意的是分段Bezier曲线必须满足nk=正整数。
这里给出准均匀B样条和分段Bezier曲线的生成节点矢量的代码,均匀B样条的很简单就不列出了。假设共n+1个控制顶点,k次B样条,输入参数为 n, k ,输出节点矢量NodeVector。
准均匀B样条曲线的节点矢量生成:
% U_quasi_uniform.m文件 function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k) % 准均匀B样条的节点向量计算,共n+1个控制顶点,k次B样条 NodeVector = zeros(1, n+k+2); piecewise = n - k + 1; % 曲线的段数 if piecewise == 1 % 只有一段曲线时,n = k for i = n+2 : n+k+2 NodeVector(1, i) = 1; end else flag = 1; % 不止一段曲线时 while flag ~= piecewise NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise; flag = flag + 1; end NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1; end
分段Bezier曲线的节点矢量生成:
% U_piecewise_Bezier.m文件 function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k) % 分段Bezier曲线的节点向量计算,共n+1个控制顶点,k次B样条 % 分段Bezier端节点重复度为k+1,内间节点重复度为k,且满足n/k为正整数 if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1) % 满足n是k的整数倍且k为正整数 NodeVector = zeros(1, n+k+2); % 节点矢量长度为n+k+2 NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1); % 右端节点置1 piecewise = n / k; % 设定内节点的值 Flg = 0; if piecewise > 1 for i = 2 : piecewise for j = 1 : k NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise; end Flg = Flg + 1; end end else fprintf('error!\n'); end
2.2 B样条曲线的绘制
根据B样条曲线的定义公式,曲线上任一点坐标值是参数变量u的函数,用矩阵形式表示p(u)=(d0d1…dn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜N0,k(u)N1,k(u)⋮Nn,k(u)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟只需要确定控制顶点di、曲线的次数k 以及基函数Ni,k(u),就完全确定了曲线。B样条曲线的绘制函数:
% DrawSpline.m文件 function DrawSpline(n, k, P, NodeVector) % B样条的绘图函数 % 已知n+1个控制顶点P(i), k次B样条,P是2*(n+1)矩阵存控制顶点坐标, 节点向量NodeVector plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),... 'o','LineWidth',1,... 'MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','g',... 'MarkerSize',6); line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1)); Nik = zeros(n+1, 1); for u = 0 : 0.005 : 1-0.005 for i = 0 : 1 : n Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector); end p_u = P * Nik; if u == 0 tempx = p_u(1,1); tempy = p_u(2,1); line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],... 'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3); else line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],... 'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3); tempx = p_u(1,1); tempy = p_u(2,1); end end
调用 DrawSpline(n, k, P, NodeVector) 函数就能绘制曲线,注意输入变量要正确。
下面给出绘制三种不同B样条曲线的命令流,可以参考比较每种类型之间的区别。
% 绘制三种类型的B样条曲线,需要前面所给的所有.m文件 clear all; %控制顶点 P = [9.036145, 21.084337, 37.607573, 51.893287, 61.187608; 51.779661, 70.084746, 50.254237, 69.745763, 49.576271]; n = 4; k = 2; flag = 2; % flag = 1,绘制均匀B样条曲线 % flag = 2, 绘制准均匀B样条曲线 % flag = 3, 绘制分段Bezier曲线 switch flag case 1 NodeVector = linspace(0, 1, n+k+2); % 均匀B样条的节点矢量 % 绘制样条曲线 plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),... 'o','LineWidth',1,... 'MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','g',... 'MarkerSize',6); line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1)); Nik = zeros(n+1, 1); for u = k/(n+k+1) : 0.001 : (n+1)/(n+k+1) % for u = 0 : 0.005 : 1 for i = 0 : 1 : n Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector); end p_u = P * Nik; line(p_u(1,1), p_u(2,1), 'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9]); end case 2 NodeVector = U_quasi_uniform(n, k); % 准均匀B样条的节点矢量 DrawSpline(n, k, P, NodeVector); case 3 NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k); % 分段Bezier曲线的节点矢量 DrawSpline(n, k, P, NodeVector); otherwise fprintf('error!\n'); end
三种类型的B样条曲线:
1. 均匀B样条曲线
2. 准均匀B样条曲线
3. 分段Bezier曲线
参考文献:
[1] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条(修订版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013 : 217-248.相关文章推荐
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