BZOJ 1005: [HNOI2008]明明的烦恼 Purfer数列
2015-05-07 17:07
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Purfer数列:
http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3278557.html
自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......
给出标号为 1 到 N 的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?
Input
第一行为 N(0<N<=1000),接下来 N 行,第 i+1 行给出第 i 个节点的度数 Di,如果对度数不要求,则输入 -1
Output
一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出 0
这题需要了解一种数列: Purfer Sequence
我们知道,一棵树可以用括号序列来表示,但是,一棵顶点标号(1~n)的树,还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示
一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数,Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数
一个定理:一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence
由一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步,每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点(度为 1),将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素,并将此叶子节点从树中删除,直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树
看看下面的例子:
假设有一颗树有 5 个节点,四条边依次为:(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5),如下图所示:
第 1 步,选取具有最小标号的叶子节点 3,将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number,并从树中删掉节点 3:
第 2 步,选取最小标号的叶子节点 1,将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number,并从树中删掉点 1:
第 3 步,选取最小标号的叶子节点 4,将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number,并从树中删掉点 4:
最后,我们得到的 Purfer Sequence 为:1 2 2
不难看出,上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性,也就是说,一个树,只能得到一个唯一的 Purfer Sequence
接下来看,怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树
由 Purfer Sequence 得到一棵树,先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1,然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数,得到每个点的度
先执行 n-2 步,每一步,选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连,得到树中的一条边,并将 u 和 v 的度减一
最后再把剩下的两个度为 1 的点连边,加入到树中
我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence :1 2 2 重新得到一棵树
Purfer Sequence 中共有 3 个数,可以知道,它表示的树中共有 5 个点,按照上面的方法计算他们的度为下表所示:
第 1 次执行,选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边:
将 1 和 3 的度分别减一:
第 2 次执行,选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边:
将 1 和 2 的度分别减一:
第 3 次执行,将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边:
将 2 和 4 的度分别减一:
最后,还剩下两个点 2 和 5 的度为 1,连边:
至此,一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了,由上面的步骤可知,Purfer Sequence 和一个树唯一对应
综上,一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
有了 Purfer Sequence 的知识,这题怎么搞定呢?
先不考虑无解的情况,从 Purfer Sequence 构造树的过程中可知,一个点的度数减一表示它在 Purfer Sequence 中出现了几次,那么:
假设度数有限制的点的数量为 cnt,他们的度数分别为:d[i]
另:
那么,在 Purfer Sequence 中的不同排列的总数为:
而剩下的 n-2-sum 个位置,可以随意的排列剩余的 n-cnt 个点,于是,总的方案数就应该是:
化简之后为:
在有解的情况下,计算该结果输出就行了
无解的情况非常好确定,这里就再讨论了
Submit: 2953 Solved: 1174
[Submit][Status][Discuss]
1
-1
-1
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main {
int n,m,sum;
int[] d=new int[1100];
BigInteger[] jc=new BigInteger[1100];
void init(){
jc[0]=jc[1]=BigInteger.ONE;
for(int i=2;i<=1000;i++){
jc[i]=jc[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(i));
}
}
BigInteger POW(int a,int n){
BigInteger ans=BigInteger.ONE;
BigInteger e=BigInteger.valueOf(a);
for(int i=0;i<n;i++){
ans=ans.multiply(e);
}
return ans;
}
Main(){
init();
Scanner in = new Scanner(System.in);
n=in.nextInt(); sum=0;
BigInteger down1=BigInteger.ONE;
for(int i=0;i<n;i++){
d[i]=in.nextInt();
if(d[i]!=-1){
m++; sum+=d[i]-1;
down1=down1.multiply(jc[d[i]-1]);
}
}
BigInteger up1=jc[n-2];
BigInteger down2=jc[n-2-sum];
BigInteger up2=POW(n-m,n-2-sum);
BigInteger ans = up1.multiply(up2).divide(down1).divide(down2);
System.out.println(ans);
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
new Main();
}
}
http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3278557.html
题目大意
自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......
给出标号为 1 到 N 的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?
Input
第一行为 N(0<N<=1000),接下来 N 行,第 i+1 行给出第 i 个节点的度数 Di,如果对度数不要求,则输入 -1
Output
一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出 0
做法分析
这题需要了解一种数列: Purfer Sequence
我们知道,一棵树可以用括号序列来表示,但是,一棵顶点标号(1~n)的树,还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示
一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数,Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数
一个定理:一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence
由一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步,每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点(度为 1),将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素,并将此叶子节点从树中删除,直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树
看看下面的例子:
假设有一颗树有 5 个节点,四条边依次为:(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5),如下图所示:
第 1 步,选取具有最小标号的叶子节点 3,将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number,并从树中删掉节点 3:
第 2 步,选取最小标号的叶子节点 1,将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number,并从树中删掉点 1:
第 3 步,选取最小标号的叶子节点 4,将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number,并从树中删掉点 4:
最后,我们得到的 Purfer Sequence 为:1 2 2
不难看出,上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性,也就是说,一个树,只能得到一个唯一的 Purfer Sequence
接下来看,怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树
由 Purfer Sequence 得到一棵树,先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1,然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数,得到每个点的度
先执行 n-2 步,每一步,选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连,得到树中的一条边,并将 u 和 v 的度减一
最后再把剩下的两个度为 1 的点连边,加入到树中
我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence :1 2 2 重新得到一棵树
Purfer Sequence 中共有 3 个数,可以知道,它表示的树中共有 5 个点,按照上面的方法计算他们的度为下表所示:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
第 1 次执行,选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边:
将 1 和 3 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 1 | 3 | 0 | 1 | 1 |
第 2 次执行,选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边:
将 1 和 2 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
第 3 次执行,将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边:
将 2 和 4 的度分别减一:
顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
度 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
最后,还剩下两个点 2 和 5 的度为 1,连边:
至此,一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了,由上面的步骤可知,Purfer Sequence 和一个树唯一对应
综上,一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
有了 Purfer Sequence 的知识,这题怎么搞定呢?
先不考虑无解的情况,从 Purfer Sequence 构造树的过程中可知,一个点的度数减一表示它在 Purfer Sequence 中出现了几次,那么:
假设度数有限制的点的数量为 cnt,他们的度数分别为:d[i]
另:
那么,在 Purfer Sequence 中的不同排列的总数为:
而剩下的 n-2-sum 个位置,可以随意的排列剩余的 n-cnt 个点,于是,总的方案数就应该是:
化简之后为:
在有解的情况下,计算该结果输出就行了
无解的情况非常好确定,这里就再讨论了
1005: [HNOI2008]明明的烦恼
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 2953 Solved: 1174
[Submit][Status][Discuss]
Description
自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?Input
第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1Output
一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0Sample Input
31
-1
-1
Sample Output
2HINT
两棵树分别为1-2-3;1-3-2Source
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main {
int n,m,sum;
int[] d=new int[1100];
BigInteger[] jc=new BigInteger[1100];
void init(){
jc[0]=jc[1]=BigInteger.ONE;
for(int i=2;i<=1000;i++){
jc[i]=jc[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(i));
}
}
BigInteger POW(int a,int n){
BigInteger ans=BigInteger.ONE;
BigInteger e=BigInteger.valueOf(a);
for(int i=0;i<n;i++){
ans=ans.multiply(e);
}
return ans;
}
Main(){
init();
Scanner in = new Scanner(System.in);
n=in.nextInt(); sum=0;
BigInteger down1=BigInteger.ONE;
for(int i=0;i<n;i++){
d[i]=in.nextInt();
if(d[i]!=-1){
m++; sum+=d[i]-1;
down1=down1.multiply(jc[d[i]-1]);
}
}
BigInteger up1=jc[n-2];
BigInteger down2=jc[n-2-sum];
BigInteger up2=POW(n-m,n-2-sum);
BigInteger ans = up1.multiply(up2).divide(down1).divide(down2);
System.out.println(ans);
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
new Main();
}
}
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