【BZOJ 1913】 [Apio2010]signaling 信号覆盖

1913: [Apio2010]signaling 信号覆盖

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Description



Input

输入第一行包含一个正整数 n, 表示房子的总数。接下来有 n 行，分别表示 每一个房子的位置。对于 i = 1, 2, .., n, 第i 个房子的坐标用一对整数 xi和yi来表 示，中间用空格隔开。

Output

输出文件包含一个实数，表示平均有多少个房子被信号所覆盖，需保证输出 结果与精确值的绝对误差不超过0.01。

Sample Input

4

0 2

4 4

0 0

2 0

Sample Output

3.500

HINT

3.5, 3.50, 3.500, … 中的任何一个输出均为正确。此外，3.49, 3.51,

3.499999，…等也都是可被接受的输出。

【数据范围】

100%的数据保证，对于 i = 1, 2, .., n, 第 i 个房子的坐标(xi, yi)为整数且

–1,000,000 ≤ xi, yi ≤ 1,000,000. 任何三个房子不在同一条直线上，任何四个房子不

在同一个圆上；

40%的数据，n ≤ 100；

70%的数据，n ≤ 500；

100%的数据，3 ≤ n ≤ 1,500。

一道神奇的思路题。

直接枚举三点计算肯定是不行的。

三点确定一圆，考虑再加入一个点，这个四边形一共会形成四种圆，每种圆肯定会包含构成这个圆的三个点。

①如果这四个点构成的是凹四边形：

四种圆中除了在圆上的三点之外，只有一种圆会包含剩余一个点，所以一个凹四边形对答案贡献为11。

②构成的是凸多边形：

四种圆中有两种圆会包含剩余的一个点（被包含的点分别是对角和大于180°的两个点），因此一个凸四边形对答案的贡献为22。

最终的期望就是3+凹四边形个数+2∗凸四边形个数(n3)3+\frac {凹四边形个数+2*凸四边形个数}{ n\choose 3}

凸四边形个数+凹四边形个数=(n4)凸四边形个数+凹四边形个数={n \choose 4}

考虑如何计算凹四边形个数:

枚举凹四边形的凹点xx，并以他作为极点对其他点按照极角排序，(n−13)−凸四边形{n-1 \choose 3}-凸四边形就是答案，再按照极角序枚举一个点yy，从与他的角度小于180°中的点选两个点就是x,yx,y与其他点构成的凸四边形个数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define Pi acos(-1)
#define LL long long
#define M 2005
using namespace std;
struct Point
{
double x,y;
}p[M];
double a[M*2];
int n;
LL C(int n,int m)
{
LL ans=1;
for (int i=1;i<=m;i++)
ans=1LL*ans*(n-i+1);
for (int i=2;i<=m;i++)
ans/=i;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
LL t=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int tot=0;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (j!=i)
{
a[++tot]=atan2(p[j].y-p[i].y,p[j].x-p[i].x);
if (a[tot]<0)
a[tot]+=Pi*2;
}
sort(a+1,a+1+n-1);
for (int j=1;j<n;j++)
a[n-1+j]=a[j]+2*Pi;
LL x=0;
int now=1;
for (int j=1;j<n;j++)
{
while (now<(n-1)*2&&a[now+1]-a[j]<Pi)
now++;
if (now-j>1)
x=x+C(now-j,2);
}
t=t+C(n-1,3)-x;
}
double ans=(double)(t+(C(n,4)-t)*2)/C(n,3)+3;
printf("%.6lf\n",ans);
return 0;
}