POJ:2127 Greatest Common Increasing Subsequence(动态规划)

题意：求最长公共上升子序列。

思路：

此题比较容易想到一个O（n^4)的算法。

具体方法是首先用两个嵌套的循环遍历数组a和数组b，当a[i]==b[j]时，寻找在数组a[1……i-1],b[1……j-1]之间,满足a[i']==b[j']且a[i']<a[i]的dp[i'][j']的最大值，这样需要两个嵌套的循环来实现。方程是dp[i][j]=max{dp[i'][j']|a[i]==b[j],a[i']==b[j'],a[i']<a[i],1<=i'<i,1<=j'<j}。但是这个题会超时。

试着优化这个算法，在状态转移的时候我们要寻找一个的状态是，数值上小于当前的数组元素，而且dp[][]要最大。在上述算法中，状态转移时枚举i‘、j'只是为了确定当前状态存在。我们可以把所有以j'为最后一个元素的最长公共上升序列的最大值保存在数组opt[j']中，状态转移时只需要遍历opt[]数组就行。

实际上，对于每个a[i]，我们只需要找opt[j']中对应满足b[j']<a[i]，opt[j']的最大值即可。这里对最大值的维护可以与遍历j同步进行。复杂度降为O（n^2)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[505][505],opt[505];
int a[505],b[505];
pair<int,int> pre[505][505];
int from[505];
bool fir;
void output(int x,int y)
{
    if(!x&&!y) return ;
    output(pre[x][y].first,pre[x][y].second);
    if(!fir)
    {
        fir=true;
        printf("%d",a[x]);
    }
    else  printf(" %d",a[x]);
}
int main()
{
    int s1,s2;
    while(scanf("%d",&s1)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=s1; ++i ) scanf("%d",&a[i]);
        scanf("%d",&s2);
        for(int j=1; j<=s2; ++j) scanf("%d",&b[j]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(opt,0,sizeof(opt));
        int ans=0;
        pair<int,int> ed;
        for(int i=1; i<=s1; ++i)
        {
            int maxn=0;
            for(int j=1; j<=s2; ++j)
            {
                if(b[j]<a[i]&&opt[maxn]<opt[j])  maxn=j;
                if(b[j]==a[i])
                {
                    dp[i][j]=opt[maxn]+1;
                    pre[i][j].first=from[maxn];
                    pre[i][j].second=maxn;
                    if(ans<dp[i][j])
                    {
                        ans=dp[i][j];
                        ed.first=i;
                        ed.second=j;
                    }
                }
                if(opt[j]<dp[i][j])
                {
                    opt[j]=dp[i][j];
                    from[j]=i;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
        if(ans)
        {
            fir=false;
            output(ed.first,ed.second);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}