贝尔数(来自维基百科)& Stirling数
2015-05-05 21:27
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贝尔数
贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列):Bell Number
Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法:
{{a}, {b}, {c}}{{a}, {b, c}}{{b}, {a, c}}{{c}, {a, b}}{{a, b, c}};
B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成员),而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。
贝尔数适合递推公式:
上述组合公式的证明:
可以这样来想,B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素
假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为
;
依次类推,得到了上述组合公式
它们也适合“Dobinski公式”:
期望值为1的泊松分数的n次矩。
它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么
每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和
Stirling数S(n, k)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。
贝尔数的指数母函数是
贝尔三角形[编辑]
用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):第一行第一项是1(
)
对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(
)
对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(
)
结果如下:(OEIS:A011971)
每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。
这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。
参见[编辑]
贝尔多项式参考[编辑]
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059分类:
整数数列
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