最大子序列和问题
2015-05-05 19:15
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转载自:http://blog.csdn.net/luxiaoxun/article/details/7438315
问题:
给定一整数序列A1, A2,... An (可能有负数),求A1~An的一个子序列Ai~Aj,使得Ai到Aj的和最大
例如:整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为21。对于这个问题,最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环,依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。
[cpp] view
plaincopy
int maxSubSum1(int a[],int size )
{
int maxSum = 0;
for ( int i = 0; i < size; i++ )
for ( int j = 1; j < size; j++ )
{
int thisSum = 0;
for ( int k = i; k <= j; k++ )
thisSum += a[k];
if ( thisSum > maxSum )
maxSum = thisSum;
}
return maxSum;
}
这个算法很简单,i表示子序列起始下标,j表示子序列结束下标,遍历子序列的开头和结束下标,计算子序列的和,然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O( pow( n, 3 ) )
显然这种方法不是最优的,下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现,算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前,先来看一个对穷举算法进行优化的算法,它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改:其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ...
A[j]的和,那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推,我们就可以得到下面这个算法:
[cpp] view
plaincopy
int max_sub(int a[],int size)
{
int i,j,v;
int max=a[0];
for(i=0;i<size;i++)
{
v=0;
for(j=i;j<size;j++)
{
v=v+a[j]; //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
if(v>max) max=v;
}
}
return max;
}
那怎样才能达到线性复杂度呢?这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现:
[cpp] view
plaincopy
int max_sub2(int a[], int size)
{
int i,max=0,temp_sum=0;
for(i=0;i<size;i++)
{
temp_sum+=a[i];
if(temp_sum>max)
max=temp_sum;
else if(temp_sum<0)
temp_sum=0;
}
return max;
}
在这一遍扫描数组当中,从左到右记录当前子序列的和temp_sum,若这个和不断增加,那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数,那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max,当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时,说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了,这时将temp_sum置为0。然后,temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析,若有比当前max大的子段,继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。
分治法:最大子序列和可能出现在三个地方:整个出现在输入数据的左半部分,整个出现在输入数据的右半部分,或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。
[cpp] view
plaincopy
/**
* Recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm.
* Finds maximum sum in subarray spanning a[left..right].
* Does not attempt to maintain actual best sequence.
*/
int maxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )
{
if( left == right ) // Base case
if( a[ left ] > 0 )
return a[ left ];
else
return 0;
int center = ( left + right ) / 2;
int maxLeftSum = maxSumRec( a, left, center );
int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );
int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
for( int i = center; i >= left; i-- )
{
leftBorderSum += a[ i ];
if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )
maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
}
int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
for( int j = center + 1; j <= right; j++ )
{
rightBorderSum += a[ j ];
if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )
maxRightBorderSum = rightBorderSum;
}
return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );
}
/**
* Driver for divide-and-conquer maximum contiguous
* subsequence sum algorithm.
*/
int maxSubSum3( const vector<int> & a )
{
return maxSumRec( a, 0, a.size( ) - 1 );
}
问题:
给定一整数序列A1, A2,... An (可能有负数),求A1~An的一个子序列Ai~Aj,使得Ai到Aj的和最大
例如:整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为21。对于这个问题,最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环,依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。
[cpp] view
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int maxSubSum1(int a[],int size )
{
int maxSum = 0;
for ( int i = 0; i < size; i++ )
for ( int j = 1; j < size; j++ )
{
int thisSum = 0;
for ( int k = i; k <= j; k++ )
thisSum += a[k];
if ( thisSum > maxSum )
maxSum = thisSum;
}
return maxSum;
}
这个算法很简单,i表示子序列起始下标,j表示子序列结束下标,遍历子序列的开头和结束下标,计算子序列的和,然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O( pow( n, 3 ) )
显然这种方法不是最优的,下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现,算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前,先来看一个对穷举算法进行优化的算法,它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改:其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ...
A[j]的和,那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推,我们就可以得到下面这个算法:
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int max_sub(int a[],int size)
{
int i,j,v;
int max=a[0];
for(i=0;i<size;i++)
{
v=0;
for(j=i;j<size;j++)
{
v=v+a[j]; //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
if(v>max) max=v;
}
}
return max;
}
那怎样才能达到线性复杂度呢?这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现:
[cpp] view
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int max_sub2(int a[], int size)
{
int i,max=0,temp_sum=0;
for(i=0;i<size;i++)
{
temp_sum+=a[i];
if(temp_sum>max)
max=temp_sum;
else if(temp_sum<0)
temp_sum=0;
}
return max;
}
在这一遍扫描数组当中,从左到右记录当前子序列的和temp_sum,若这个和不断增加,那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数,那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max,当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时,说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了,这时将temp_sum置为0。然后,temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析,若有比当前max大的子段,继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。
分治法:最大子序列和可能出现在三个地方:整个出现在输入数据的左半部分,整个出现在输入数据的右半部分,或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。
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/**
* Recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm.
* Finds maximum sum in subarray spanning a[left..right].
* Does not attempt to maintain actual best sequence.
*/
int maxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )
{
if( left == right ) // Base case
if( a[ left ] > 0 )
return a[ left ];
else
return 0;
int center = ( left + right ) / 2;
int maxLeftSum = maxSumRec( a, left, center );
int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );
int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
for( int i = center; i >= left; i-- )
{
leftBorderSum += a[ i ];
if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )
maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
}
int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
for( int j = center + 1; j <= right; j++ )
{
rightBorderSum += a[ j ];
if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )
maxRightBorderSum = rightBorderSum;
}
return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );
}
/**
* Driver for divide-and-conquer maximum contiguous
* subsequence sum algorithm.
*/
int maxSubSum3( const vector<int> & a )
{
return maxSumRec( a, 0, a.size( ) - 1 );
}
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