多源最短路径Floyd、Floyd求最小环【模板】

Floyd算法：用来找出每对点之间的最短距离。图可以是无向图，也可以是有向图，边权可为正，也可以为负，唯一要求是不能有负环。

1.初始化：将Map[][]中的数据复制到Dist[][]中作为每对顶点之间的最短路径的初值，Pre[i][j] = i 表示 i 到 j 路径中 j 的前一节点。

2. k 从 1 到 N 循环 N 次，每次循环中，枚举图中不同的两点 i，j，如果Dist[i][j] > Dist[i][k] + Dist[k][j]，则更新Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j]，更新Pre[i][j] = Pre[k][j]。

只要图中不存在负环就可以得出正确的答案，关于Floyd算法对负环的判定，参考下边Floyd求最小环。

const int MAXN = 110;
const int INF = 0xffffff0;

int Map[MAXN][MAXN], Dist[MAXN][MAXN],Pre[MAXN][MAXN];
//Pre[i][j] = i表示i到j路径中j的前一节点
void Floyd(int N)
{   //初始化
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
for(int j = 1; j <= N; ++j)
{
Dist[i][j] = Map[i][j];
Pre[i][j] = i;
}

}
for(int k = 1; k <= N; ++k)
{
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
for(int j = 1; j <= N; ++j)
{   //如果Dist[i][j] > Dist[i][k] + Dist[k][j]，则更新
if(Dist[i][k] != INF && Dist[k][j] != INF && Dist[i][k] + Dist[k][j] < Dist[i][j])
{
Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j];
Pre[i][j] = Pre[k][j];  //更新Pre[i][j]
}
}
}
}
}

如果求点u到点v能达到的最长边尽可能短的路径上最长边为多少，将循环内部改为如下代码：

int tMax;   //这里边求的是能达到的路径上最长边最小为多少
if(Dist[i][k] > Dist[k][j])
tMax = Dist[i][k];
else
tMax = Dist[k][j];
if(Dist[i][j] > tMax)
Dist[i][j] = tMax;

Floyd求最小环

不能在Map[][]数组上直接计算，因为判断过程中用到了Map[][]原始值。

const int MAXN = 110;
const int INF = 0xffffff0;
int temp,Map[MAXN][MAXN],Dist[MAXN][MAXN],pre[MAXN][MAXN],ans[MAXN*3];

void Solve(int i,int j,int k)
{
temp = 0;   //回溯，存储最小环
while(i != j)
{
ans[temp++] = j;
j = pre[i][j];
}
ans[temp++] = i;
ans[temp++] = k;
}
void Floyd(int N)
{
for(int i = 1; i <= N; ++i)
for(int j = 1; j <= N; ++j)
{
Dist[i][j] = Map[i][j];
pre[i][j] = i;
}
int MinCircle = INF;    //最小环
for(int k = 1; k <= N; ++k)
{
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
for(int j = 1; j <= N; ++j)
{
if(i != j && Dist[i][j] != INF && Map[i][k] != INF && Map[k][j] != INF
&& Dist[i][j] + Map[i][k] + Map[k][j] < MinCircle)
{
MinCircle = min(MinCircle, Dist[i][j] + Map[i][k] + Map[k][j]);
Solve(i,j,k);   //回溯存储最小环
}
}
}

for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
for(int j = 1; j <= N; ++j)
{
if(Dist[i][k] != INF && Dist[k][j] != INF &&
Dist[i][k] + Dist[k][j] < Dist[i][j])
{
Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j];
pre[i][j] = pre[k][j];  //记录点i到点j的路径上，j前边的点
}
}
}
}

if(MinCircle == INF)    //不存在环
{
printf("No solution.\n");
return;
}
//如果求出最小环为负的，原图必定存在负环
for(int i = 0;i < temp; ++i)    //输出最小环
if(i != temp-1)
printf("%d ",ans[i]);
else
printf("%d\n",ans[i]);
}