数论-唯一分解定理

唯一分解定理

唯一分解定理
最小剩余
定理

定义

推论

模
定理

证明

推论

唯一分解
定理

证明
存在

唯一

总结

参考

最小剩余

定理

设aa和bb为整数,b>0b>0,则存在整数qq和rr,使得a=qb+r,0≤r<ba = qb + r, 0 \le r,使rr称为bb除aa所得的最小剩余

真确性无需证明,根据定理有如下定义:

定义

当rr为0的时候,称bb为aa的因子,aa为bb 的倍数,记为b|ab|a.

若bb为aa的因子,b≠1,b≠ab\neq1,b\neq a这时称bb为aa的真因子.

若b≠0,c≠0b\neq 0,c \neq 0,有如下推论:

推论

若b|a,c|bb|a,c|b,则c|ac|a;

若b|a,b|a,则bc|acbc|ac;

若c|d,c|ec|d,c|e,则对任意m,nm,n有c|dm+enc|dm+en.

模

定理

若集合MM为整数的一个子集,对加减运算封闭,则称M为模,而任意一个非零模,必为一正整数的诸倍数组成的集合.

证明

设dd为集合MM中最小的元素,则模中其他的数必定为dd的倍数,可以用反证法:

假设nn不是d的倍数,则n=kd+r,0<r<dn=kd+r,0.

因为MM对加减法封闭,所以我们可以不断减去dd,直至只剩下rr.

因为0<r<d0与d是集合中最小的元素矛盾,故定理得证.

推论

存在整数x,yx,y,使(a,b)=ax+by(a,b)=ax+by

对于任何x,yx,y,必有(a,b)|ax+by(a,b)|ax+by.

若c|a,c|ac|a,c|a,则c|(a,b)c|(a,b).

根据第一个推论又有如下推论:

对于任何两个互质的数,那么存在x,yx,y使得ax+by=1ax+by=1

若p为素数且p|abp|ab,则p|ap|a或者p|bp|b.

对于第二个推论证明如下:

若p∤ap\nmid a(p不能整除a),所以(a,p)=1(a,p)=1,则根据定理,有整数x,yx,y

ax+py=1ax+py=1

∴abx+pyb=b\therefore abx+pyb=b

∵p|ab\because p|ab

∴ab=kp\therefore ab=kp

∴kp+pyb=b−−−>(k+yb)p=b\therefore kp+pyb=b --->(k+yb)p=b

∴p|b\therefore p|b

唯一分解

定理

对于任一自然数nn皆可唯一的表示为素数之积n=pa11pa22⋯pakkn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}.

证明

存在

当nn为素数,定理坑定c成立.当nn不是素数时,设p1p_1为nn的最小真因子,容易证明p1p_1为素数,

设n=p1n1(1<n1<n)n=p_1n_1(1,那么继续对n1n_1重复以上步骤,不超过nn次后,可得

n=p1p2⋯pln=p_1p_2\cdots p_l

唯一

设n=pa11pa22⋯pakk=qb11qb22⋯qbkk,p1<p2<⋯<pk,q1<q2<⋯<qkn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_k^{b_k},p_1

利用以上定理: 若p为素数且 p|abp|ab ,则 p|ap|a 或者 p|bp|b .

可得对于每个pi|np_i|n,可得pi|qb11qb22⋯qbkkp_i|q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_k^{b_k}可以推得

pi|qbjjp_i|q_j^{b_j}又因为pi,qj p_i,q_j是素数,可得

pi=qjp_i=q_j又因为p1<p2<⋯<pk,q1<q2<⋯<qkp_1

可得对于每个pip_i都有qiq_i相等.

而若ai≠bia_i\ne bi

可得等式pa11pa22⋯pai−bii⋯pakk=qb11qb22⋯qbi−1i−1qbi+1i+1⋯qbkkp_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_i^{a_i-b_i}\cdots p_k^{a_k}=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_{i-1}^{b_i-1}q_{i+1}^{b_i+1} \cdots q_k^{b_k}

左边含有pip_i而右边不含有pip_i,这是不可能的

可得ai=bia_i=b_i

唯一性得证

总结

唯一分解定理是数论的基础,再以后的学习中会经常用到.

参考

<<算法数论>> 裴定一 祝跃飞 编著