矢量计算三角形面积
2015-05-04 15:52
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设有三角形ABC,三顶点坐标分别为:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
设BC长为a,CA长为b,AB长为a。规定以C为起点、B为终点的矢量为a,规定以C为起点、A为终点的矢量为b,
则根据矢量积定义,有|a×b|=ab*sinC,恰巧三角形面积S=ab*sinC/2,所以S=|a×b|/2
规定沿横轴方向的单位矢量为x,沿纵轴方向的单位矢量为y,沿竖轴方向的单位矢量为z
显然,矢量a、b在横轴上投影分别为(x2-x3)、(x1-x3),在纵轴上投影分别为(y2-y3)、(y1-y3)
根据矢量的坐标分解法,有a=(x2-x3)x+(y2-y3)y,b=(x1-x3)x+(y1-y3)y
根据矢量的矢量积的分配率、与数乘的结合率,以及x×y=z,y×x=-z,x×x=0,y×y=0有
a×b=[(x2-x3)x+(y2-y3)y]×[(x1-x3)x+(y1-y3)y]
=(x2-x3)x×(x1-x3)x+(x2-x3)x×(y1-y3)y+(y2-y3)y×(x1-x3)x+(y2-y3)y×(y1-y3)y
=(x2-x3)(x1-x3)(x×x)+(x2-x3)(y1-y3)(x×y)+(y2-y3)(x1-x3)(y×x)+(y2-y3)(y1-y3)(y×y)
=(x2-x3)(y1-y3)z-(y2-y3)(x1-x3)z=[(x2-x3)(y1-y3)-(y2-y3)(x1-x3)]z
则S=|a×b|/2=|(x2-x3)(y1-y3)-(y2-y3)(x1-x3)|/2=|x2y1-x2y3-x3y1+x3y3-y2x1+y2x3+y3x1-y3x3|/2,即
S=|x1y2+x2y3+x3y1-y1x2-y2x3-y3x1|/2
或许不易记忆,因此采用三阶行列式形式写出:
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
求出行列式值,取绝对值并除以2
设BC长为a,CA长为b,AB长为a。规定以C为起点、B为终点的矢量为a,规定以C为起点、A为终点的矢量为b,
则根据矢量积定义,有|a×b|=ab*sinC,恰巧三角形面积S=ab*sinC/2,所以S=|a×b|/2
规定沿横轴方向的单位矢量为x,沿纵轴方向的单位矢量为y,沿竖轴方向的单位矢量为z
显然,矢量a、b在横轴上投影分别为(x2-x3)、(x1-x3),在纵轴上投影分别为(y2-y3)、(y1-y3)
根据矢量的坐标分解法,有a=(x2-x3)x+(y2-y3)y,b=(x1-x3)x+(y1-y3)y
根据矢量的矢量积的分配率、与数乘的结合率,以及x×y=z,y×x=-z,x×x=0,y×y=0有
a×b=[(x2-x3)x+(y2-y3)y]×[(x1-x3)x+(y1-y3)y]
=(x2-x3)x×(x1-x3)x+(x2-x3)x×(y1-y3)y+(y2-y3)y×(x1-x3)x+(y2-y3)y×(y1-y3)y
=(x2-x3)(x1-x3)(x×x)+(x2-x3)(y1-y3)(x×y)+(y2-y3)(x1-x3)(y×x)+(y2-y3)(y1-y3)(y×y)
=(x2-x3)(y1-y3)z-(y2-y3)(x1-x3)z=[(x2-x3)(y1-y3)-(y2-y3)(x1-x3)]z
则S=|a×b|/2=|(x2-x3)(y1-y3)-(y2-y3)(x1-x3)|/2=|x2y1-x2y3-x3y1+x3y3-y2x1+y2x3+y3x1-y3x3|/2,即
S=|x1y2+x2y3+x3y1-y1x2-y2x3-y3x1|/2
或许不易记忆,因此采用三阶行列式形式写出:
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
求出行列式值,取绝对值并除以2
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