hdu 4565 So Easy! (共轭构造+矩阵快速幂)

题目链接：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

题目大意：

　　给出a，b，n，m，求出

的值，

解题思路：

　　因为题目中出现了开根号，和向上取整后求余，所以用矩阵快速幂加速求解过程的时候，会产生误差，就很自然地想到了凑数，因为(a-1)^2<b<a^2,得出0<a-sqrt(b)<1，则无论n取多大，(a-sqrt(b))^n都是小于1的，(a-sqrt(b))^n 与 (a+sqrt(b))^n共轭，两者展开后会相互抵销，所以((a-sqrt(b))^n + (a+sqrt(b))^n)为整数，假设((a-sqrt(b))^n + (a+sqrt(b))^n)用sn表示，则sn*(a+sqrt(b))+(a-sqrt(b)) = Sn+1 - (a^2-b)*Sn-1,进一步得出 Sn+1 = 2*a*Sn - (a*a - b) * Sn-1，

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
#define LL __int64
LL a, b, n, m;
struct mat
{
LL p[2][2];
};

mat mul (mat x, mat y);
mat pow (mat x, mat y, LL z);

int main ()
{
mat x, y;
while (scanf ("%I64d %I64d %I64d %I64d", &a, &b, &n, &m) != EOF)
{
memset (x.p, 0, sizeof(x.p));
memset (y.p, 0, sizeof(y.p));
x.p[0][0] = (2*(a*a+b)%m+m)%m;//要用long long，int相乘的时候会溢出
x.p[0][1] = (2*a) % m;
y.p[0][0] = (2*a) % m;
y.p[0][1] = 1;
y.p[1][0] = ((b-a*a)%m+m)%m;
//y.p[1][0] = ((b-a*a)+m)%m;//这样取余是错误的，因为还有可能是负数，害wa了好几次
x = pow (x, y, n-1);
printf ("%I64d\n", x.p[0][1]);
}
return 0;
}

mat mul (mat x, mat y)
{
int i, j, k;
mat z;
memset (z.p, 0, sizeof(z.p));
for (i=0; i<2; i++)
for (j=0; j<2; j++)
{
for (k=0; k<2; k++)
z.p[i][j] += x.p[i][k] * y.p[k][j];
z.p[i][j] = (z.p[i][j] + m )% m;
}
return z;
}
mat pow (mat x, mat y, LL z)
{
while (z)
{
if (z % 2)
x = mul(x,y);
y = mul (y, y);
z /= 2;
}
return x;
}