微软的扔杯子问题-动态规划

微软的扔杯子问题-动态规划

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Algorithm 2011-12-22 10:05
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微软layer新浪微博测试面试

目录(?)[+]

在新浪微博上看到了一微软面试题



[b]题目描述[/b]
一种杯子，若在第N层被摔破，则在任何比N高的楼层均会破，若在第M层不破，则在任何比M低的楼层均不会破，给你两个这样的杯子，让你在100层高的楼层中测试，要求用最少的测试次数找出恰巧会使杯子破碎的楼层。

[b]不等式解法[/b]
所有讨论基于2个杯子的情况：
下图中所有图示的红线均表示剩下两个杯子的时候的试摔位置，当杯子破碎后，也就是只剩下一个杯子的时候，只需要从已知范围的最底层向已知范围的最高层逐层试摔。
当只有一层的时候，需要一次试摔。当有两层的时候，需要两次试摔。
当需要三层时候，首先讨论是否可以通过两次试摔完成，可以发现可以，方法如图。
当需要四层时候，首先讨论是否可以通过两次试摔完成，可以发现已经不行，因此至少需要三次试摔。
当需要五层时候，首先讨论是否可以通过小于等于三次试摔完成，如果不行则讨论最多四次试摔的情况。依次类推，如下图：



因此，当有100层的时候，最多需要n次试摔，使得 n+(n-1)+(n-2)+...+1 >= 100，然后对n上取整，因此n=14。最差情况需要14次试摔。试摔方法为：第一次在14层扔，如果没破，在27层(14+13)继续扔，不破在39层(27+12)继续扔，依次类推。 如果破了，剩下一个杯子，从已知范围的最底层向已知范围的最高层逐层试摔。
[b]动态规划解法[/b]
假设用dp[i][j]表示剩余i层，j个杯子时候最少需要多少次试摔。
（1）dp[i][1] = i，也就是说当只剩下一个杯子时，只能从第一层开始逐层向上试摔。
（2）dp[0][j] = 0，当只剩下0层时，只需要进行0次试摔。
（3）dp[1][j] = 1，当只剩下1层时，只需要进行1次试摔，前提是j>0
（4）dp[i][j] = min(1=<k<j)(max(dp[k-1][i-1], dp[j-k][i]) + 1)，也就是当杯子破和不破的时候分成两个子问题，分别求解，之后求子问题试摔次数的最大和作为这种分解方法的试摔次数，之后取这些所有分拆子问题的方法中，使子问题和最小的方法。
route[i][j]，表示剩下i层j个杯子时，下一次试摔的楼层。当j=1时，从这个范围内的最底层依次向最高层试摔。

[cpp]
view plaincopy

//dp.c
#include <stdio.h>
#define LAYER 101
#define CUP 3
int main(){
int dp[LAYER][CUP], route[LAYER][CUP], i, j, k;
for(i=1; i<LAYER; i++){
dp[i][1] = i;
dp[i][0] = 0;
}
for(i=1; i<CUP; i++){
dp[1][i] = 1;
route[1][i] = 0;
dp[0][i] = 0;
}
for(i=2; i<CUP; i++)
for(j=2; j<LAYER; j++){
dp[j][i] = j;
route[j][i] = 0;
for(k=1; k<j; k++){
int min = dp[k-1][i-1] > dp[j-k][i]? dp[k-1][i-1]+1: dp[j-k][i]+1;
route[j][i] = min <= dp[j][i]? k: route[j][i];
dp[j][i] = min < dp[j][i]? min: dp[j][i];
}
}
printf("MIN STEP IS %d\n", dp[LAYER-1][CUP-1]);
//for(i=1; i<LAYER; i++){for(j=2; j<CUP; j++){printf("%d\t", route[i][j]);} printf("\n");}
return 0;
}

输出结果为：MIN STEP IS 14。也就是，有一种方法，最多需要试摔14次。同时route数组打印出了方法。
比如route数组的结果：

route[i][2]

1	0	2	1	3	2	4	3	5	3
6	3	7	4	8	4	9	4	10	4
11	5	12	5	13	5	14	5	15	5
16	6	17	6	18	6	19	6	20	6
21	6	22	7	23	7	24	7	25	7
26	7	27	7	28	7	29	8	30	8
31	8	32	8	33	8	34	8	35	8
36	8	37	9	38	9	39	9	40	9
41	9	42	9	43	9	44	9	45	9
46	10	47	10	48	10	49	10	50	10
51	10	52	10	53	10	54	10	55	10
56	11	57	11	58	11	59	11	60	11
61	11	62	11	63	11	64	11	65	11
66	11	67	12	68	12	69	12	70	12
71	12	72	12	73	12	74	12	75	12
76	12	77	12	78	12	79	13	80	13
81	13	82	13	83	13	84	13	85	13
86	13	87	13	88	13	89	13	90	13
91	13	92	14	93	14	94	14	95	14
96	14	97	14	98	14	99	14	100	14

因此，route[100][2]=14，第一次试摔是在14层，如果碎了，那么从第一层开始往14层试摔，如果没碎，第二次试摔是在route[100-14][2]=route[86][2]=13，也就是在14+13=27层进行第二次试摔，如果这次碎了，那么从第14+1=15层开始向上试摔，如果这次没碎，第三次试摔是在route[86-13][2]=route[73][2]=12，也就是在27+12=39层开始试摔，依次类推。