DP Minimum Path Sum

思想：

方法一：DP

状态方程：

f[i][0] 可以提前求出； 0 <= i < m

f[0][i] 可以提前求出； 0 <= i < n

f[i][j] = min( f[i-1][j], f[i][j-1]) + grid[i][j]；

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f = vector<vector<int>>(m,vector<int>(n));
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<m;i++) {
            sum += grid[i][0];
            f[i][0] = sum;
        }
        sum = f[0][0];
        for(int i=1;i<n;i++) {
            sum += grid[0][i];
            f[0][i] = sum;
        }
        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return f[m-1][n-1];
    }
};

方法二：DP+滚动数组
对上面的DP进行空间复杂度的优化，用一维数组从上往下刷一遍。

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<int> f(n);
        fill(f.begin(), f.end(), INT_MAX);
        f[0] = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            f[0] += grid[i][0];
            for(int j = 1; j < n; j++) {
                f[j] = min(f[j-1], f[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return f[n-1];
    }
};

方法三：DFS+备忘录

注意：

（1）传grid的时候要传引用，否则会MLE，因为每一次dfs都会创建原grid的副本。

（2）if(x<0 || y<0) 要返回INT_MAX，因为我们要取小。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> f;
    int getOrUpdate(vector<vector<int>> &grid,int x, int y) {
        if(x<0 || y<0) return INT_MAX;
        if(f[x][y] >= 0) return f[x][y];
        else return f[x][y] = dfs(grid,x,y);
    }
    int dfs(vector<vector<int>> &grid, int x, int y) {
        if(x<0 || y<0) return 0;
        if(x==0 && y==0) return grid[0][0];
        return min(getOrUpdate(grid, x-1, y), getOrUpdate(grid, x, y-1)) + grid[x][y];
    }
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        this->f = vector<vector<int>>(m,vector<int>(n,-1));
        return dfs(grid,m-1,n-1);
    }
};