组合数学——不过对角线的格路问题

众所周知，格路问题是经典的组合数学问题，在n*n的格子盘中，对于从（0，0）->（n，m）的路线数为C(n+m,n)，但是，如果加个要求：路线不允许穿过格子盘对角线，那又该怎么办呢？

如图所示，



我们的目标是从(0,0)到(m,n)，且不穿过对角线，即x=y线

做法如下：

首先，把对角线向右平移一个单位，把格子盘扩展为(n+1)*(n+1)，此时的对角线变为y=x-1，由图可知，如果从(0,0)点出发，到达(m,n)的途中，如果经过y=x-1，那么该路径就一

定穿过了原来的对角线y=x，更神奇的是，如果从(0,0)关于y=x-1的对称点(1,-1)出发，到达(m,n)的话，必定穿过y=x-1，而且每条路径都对应着一条从(0,0)

出发到(m,n)并且经过y=x-1的路径，为什么会有一一对应关系呢？

看图：



图中的坐标整体上移了一位，不影响观察

从图中不难看出，只要在第一个接触点之后保持路线一致，前面路线成对称状，那么就存在一一对应关系了。

所以，

路径数 = 总数 - 穿过对角线的数 = C(n+m,m)-C((m-1)+(n+1),m-1) = C(n+m,m)-C(m+n,m-1)。