求二叉树中节点的最大距离..........

题目描述：

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义“距离”为两个节点之间的边的个数。写一个程序，求一颗二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。



分析与解答：

根据相距最远的两个节点一定是叶子节点这个规律，我们可以进一步讨论。

对于任意一个节点，以该节点为根，假设这个根有K个孩子结点，那么相距最远的两个节点U和V之间的路径与这个根节点的关系有两种情况：

1. 若路径经过根Root，则U和V是属于不同子树的，且它们都是该子树中道根节点最远的节点，否则跟它们的距离最远相矛盾。这种情况如图3-13所示：



2. 如果路径不经过Root，那么它们一定属于根的K个子树之一。并且它们也是该子树中相距最远的两个顶点。如图：



因此，问题就可以转化为在字数上的解，从而能够利用动态规划来解决。

设第K棵子树中相距最远的两个节点：Uk和Vk，其距离定义为d(Uk,Vk)，那么节点Uk或Vk即为子树K到根节点R距离最长的节点。不失一般性，我们设Uk为子树K中到根节点Rk距离最长的节点，其到根节点的距离定义为d(Uk,R)。取d(Ui,R)(1<=i<=k)中最大的两个值max1和max2，那么经过根节点R的最长路径为max1+max2+2，所以树R中相距最远的两个点的距离为：max{d(U1,V1),…,
d(Uk,Vk),max1+max2+2}。

采用深度优先搜索如图3-15，只需要遍历所有的节点一次，时间复杂度为O(|E|)=O(|V|-1)，其中V为点的集合，E为边的集合。



代码如下：利用二叉树实现该算法：

//数据结构定义

struct NODE

{

NODE* pLeft; //左孩子

NODE* pRight; //右孩子

int nMaxLeft; //左孩子中的最长距离

int nMaxRight; //右孩子中的最长距离

char chValue; //该节点的值

};

int nMaxLen=0;

//寻找树中最长的两段距离

void FindMaxLen(NODE* pRoot)

{

//遍历到叶子节点，返回

if(pRoot==NULL)

{

return;

}

//如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0

if(pRoot->pLeft==NULL)

{

pRoot->nMaxLeft=0;

}

//如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0

if(pRoot->pRight==NULL)

{

pRoot->nMaxRight=0;

}

//如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离

if(pRoot->pLeft!=NULL)

{

FindMaxLen(pRoot->pLeft);

}

//如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离

if(pRoot->pRight!=NULL)

{

FindMaxLen(pRoot->pRight);

}

//计算右子树最长节点距离

if(pRoot->pLeft!=NULL)

{

int nTempMax=0;

if(pRoot->pLeft->nMaxLeft > pRoot->pLeft->nMaxRight)

nTempMax=pRoot->pLeft->nMaxLeft;

else

nTempMax=pRoot->pLeft->nMaxRight;

pRoot->nMaxLeft=nTempMax+1;

}

//计算右子树最长节点距离

if(pRoot->pRight!=NULL)

{

int nTempMax=0;

if(pRoot->pRight->nMaxLeft > pRoot->pRight->nMaxRight)

nTempMax= pRoot->pRight->nMaxLeft;

else

nTempMax= pRoot->pRight-> nMaxRight;

pRoot->nMaxRight=nTempMax+1;

}

//更新最长距离

if(pRoot->nMaxLeft+pRoot->nMaxRight > nMaxLen)

nMaxLen=pRoot->nMaxLeft+pRoot->nMaxRight;

}