【算法导论】 第十三课 平摊分析、表的扩增、势能分析

先通过表的扩增这一例子来引入今天的主题——平摊分析和势能分析

一个哈希表的大小应该为多少比较合适？

theta（n）比较合适

可是万一我们不知道n是多大呢

使用动态表解决 溢出就建立一个大小翻倍的空间，然后复制过去

这样做插入的最坏时间复杂度为n

让我们看看平均的时间复杂度，每次基本插入操作为1，空间溢出时需要开一个更大一倍的空间，并复制当前的元素过去，所以空间溢出时所需要的时间为2的i次方（i为第几次溢出）

所以其真实的时间消耗为n+sigma(2^i) 0<=i<=lg(n+1) 即3n

因此其实插入的时间复杂度为O（1）

尽管有时会有巨大开销，但是会被平均的开销平摊掉，这就是平摊分析

平摊分析：平均操作复杂度不高，尽管有些操作会有较高的复杂度

三种类型的平摊方法：

1.聚集分析

2.记账方法（accounting）

3.势能分析

2.3它们为每一个操作分配了特点的平摊代价

记账方法：

想象自己担任了一个会记

对第i个操作收费为ci

收益个虚构的平摊代价

每一步运算需要花费1$

未用到的余款就被存到银行，用于偿付以后的操作

如每次插入收费为3，插入消耗1，剩下的2存入银行为表翻倍时做准备，要始终保证银行的金额为正

即提前平摊，总能支付扩充表的费用，这样某一个高开销的操作会被平摊掉

势能方法：

算法分析里最漂亮的产物之一

刚开始数据结构状态为D0

操作i的代价为ci

操作i可以看作把数据结构由Di-1转化为Di

定义势能函数

将数据结构的集合定位实数值

D0 = 0 初始的势为0

所有Di >=0，我们不能让势低于0

定义平摊代价为Ai，对势能Di有Ai=Ci+Di-Di-1

Di-Di-1 部分是势能的改变量，如果其>=0 那么Ai>ci 我收取的费用超过了实际的花费，即操作i储存了后面数据结构所需的功

如果势能的改变量<0，即我们用存储的势能转化为能量来帮助完成操作i

记账方法考虑的是平摊代价

而势能分析考虑的是银行存款（存储势能）

有sigmaAi=sigma（ci+Di-Di-1）=sigma（ci+Dn-D0）

D0为0，Dn大于等于0，所以左边大于右边，是实际代价的一个上界

我们再次以表的扩增为例感受一下势能分析

我们的势能函数为2i-2^ceil（lgi）

如何推导出这样的势能函数的？

定义势能函数难度低于定义平摊代价

Di>=0

第i个操作的平摊代价Ai=Ci+Di-Di-1= i+2i-2^ceil（lgi）-（2i-2-2^ceil（lgi-1））（刚好i是2的幂）

1+2i-2^ceil（lgi）-（2i-2-2^ceil（lgi-1））

case1 i-1是2的幂，那么Ai=i+2-2（i-1）+（i-1）=3

case2 i-1不是2的幂 那么Ai=1+2i-2^ceil（lgi）-（2i-2-2^ceil（lgi-1））=3

这样得到的平摊代价也为3

不关注实时性能只关注聚集性能