HDU 1452 Happy 2004 (因子和)

Happy 2004

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[align=left]Problem Description[/align]
Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

[align=left]Input[/align]
The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.

[align=left]Output[/align]
For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.

[align=left]Sample Input[/align]

1
10000
0

[align=left]Sample Output[/align]

6
10

简单的约数求和。2014^x,由素数基本定理，将2014分解，2014=2^2 *  3 * 167，则2014^x=2^(2*x) * 3^x  *   167^x,由约数和公式（后附）得2014^x的约数和为：[2^(2*x+1)-1]/(2-1)  * [3^(x+1)-1]/(3-1)  *  [167^(x+1)-1]/(167-1) = r/332，其中r=[2^(2*x+1)-1] * [3^(x+1)-1] *  [167^(x+1)-1]，答案就是（r/332）%29，在取模运算里，除以一个数等于乘以这个数的逆元。而332关于模29的逆元是9，故答案就是（r*9）% 29.
在这里还学到的知识：费马小定理，对任意的素数p，任意整数a，有a^(p-1) mod p =1。 在本题里29是素数，那么对于a=2014就符合费马小定理，由费马小定理，a^28 mod 29 =1,则a^x mod 29 = a^(x mod 28) mod 29.   所以在代码中处理时，先把x对28取余。
补：约数和公式，有素数基本定理，n=p1^a1 * p2^a2 ....... * pk^ak，约数和为：(p1^(a1+1)-1)/(p1-1) * (p2^(a2+1)-1)/(p2-1) .... * (pk^(ak+1)-1)/(pk-1)
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 ll;

const int MOD=29;

quick_mod(int a,int b){		//a^b%MOD
int res=1;
a%=MOD;
while(b){
if(b&1) res=(res*a)%MOD;
b/=2;
a=(a*a)%MOD;
}
return res;
}

int main()
{
int i,j,n,res,k;
while(scanf("%d",&n),n){
int x1,x2,x3;
x1=(2*n+1)%(MOD-1);
x1=quick_mod(2,x1)-1;
x2=x3=(n+1)%(MOD-1);
x2=quick_mod(3,x2)-1;
x3=quick_mod(167,x3)-1;
res=(x1*x2*x3*9)%MOD;
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}

补充逆元的求法：a*b mod m =1,则称a为b的逆元，a，b互为逆元，a模m存在逆元的充要条件是：a和m互素。（这有线性同余方程的知识可证）。将a*b mod m =1变形：a*b - m*y =1,要求a的逆元的话就是求b，即线性同余方程的解，对a和m构造同余方程，然后求解即可。（用到了扩展欧几里得算法Exgcd）
[code]void Exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;y=0;d=a;return ;
}
Exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=(a/b)*x;
}

//求模n意义下a的逆元，如果不存在则返回-1
int inv(int a,int n){
int d,x,y;
Exgcd(a,n,d,x,y);
return d==1?(x+n)%n:-1;
}

所以本题中332在模29意义下的逆元可以通过 inv(332,29)求得。
本题的解法可以推广到A^x 的约数和对MOD取余。见POJ1845 http://poj.org/problem?id=1845其实也简单，在本题的解法基础上，只需要在开始对A进行素数分解一下就好了。

[/code]