（1.5.2.10）寻找最近点对

题目：平面中有若干个点，寻找距离最近的两个点。

分析：

方法1：两两点比较，寻找最近的两个点对，复杂度O(N^2)，优点代码简单不容易出错

方法2：观察两两比较的方法，发现有很多无用的比较，对于每一个点只要计算到它最近的点的距离就可以了，枚举所有的点，最后得出距离最近的一对点，但对于一个给定的点，如何找到距离它最近的点呢？可以使用一些启发式规则，减少比较的次数，例如：对于(x,y)取x轴投影上最近的点p1（x1,y1）和取y轴上投影最近的点p2(x2,y2)，以（x，y）为一个定点，取x1，x2中较大者x'，y1，y2中较大者y',构成（x‘，y’）为矩形的另一个顶点，计算矩形内所有的点与(x,y)的距离，从而减少了比较的次数。再以(x,y)为中心，判断4个项限内的所有点，最后得出距离（x，y）最小的点。复杂度是O(N*K)，K为要判断的点的平均个数

方法3：采用分治法，即从x轴将数据不断分成两部分，两部分最近的两点取其小，在进行两部分中间比较，通过两部分的最小距离，缩小了中间带状的点数量，详见编程之美的分析。

算法

核心是分治算法

1. 分别根据点的 x,y 值进行排序

2. 在 x 轴上划一道垂线, 将点均分成两半

3. 假设最近点对都在左/右部分, 递归计算左/右半部分的最短距离并返回较小值 dis

4. 假设最近点对分别在左右两个部分, 横跨中心的竖线. 中心线为中心, 2*dis 为宽度画一个矩形, 横跨中心线的最近点对 candidate 都在这个矩形内. 将这些点按照 y 值的大小加入到数组中. 遍历数组中的点, 将该点与其后的 7 个点计算距离, 返回最小距离

5. 为什么仅和 7 个点作对比呢. 因为已经假设 dis 是左右不分最近点对的最小值, 这就说明在一个长(宽)为 dis 的正方形内, 至多有 4 个点. 长为 dis*2, 宽为 dis 的长方形至多 8 个.

按照方法3的程序如下：

[cpp] view
plaincopy

#include <stdio.h>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <math.h>

class Point {

public:

Point(int x, int y) : x_(x), y_(y) {}

Point() : x_(0), y_(0) {}

static bool OrderByX(const Point& left, const Point& right) {

return left.x_ < right.x_;

}

static bool OrderByY(const Point& left, const Point& right) {

return left.y_ < right.y_;

}

int x_;

int y_;

};

float Distance(const Point& left, const Point& right) {

return sqrt(pow(left.x_ - right.x_, 2) + pow(left.y_ - right.y_, 2));

}

int NearestPoints(const std::vector<Point>& points, int start, int end, Point* point1, Point* point2) {

if (end > start) {

int middle = (start + end) / 2;

int left_min_distance = NearestPoints(points, start, middle, point1, point2);

int right_min_distance = NearestPoints(points, middle + 1, end, point1, point2);

int min_distance = left_min_distance > right_min_distance ? right_min_distance : left_min_distance;

std::vector<Point> left_part_points;

for (int i = start; i <= middle; ++i) {

if (points[middle].x_ - points[i].x_ <= min_distance) {

left_part_points.push_back(points[i]);

}

}

sort(left_part_points.begin(), left_part_points.end(), Point::OrderByY);

std::vector<Point> right_part_points;

for (int i = middle + 1; i <= end; ++i) {

if (points[i].x_ - points[middle].x_ <= min_distance) {

right_part_points.push_back(points[i]);

}

}

sort(right_part_points.begin(), right_part_points.end(), Point::OrderByY);

int distance_y = 0;

int point_distance = 0;

for(int i = 0; i < left_part_points.size(); ++i) {

for(int j = 0; j < right_part_points.size(); ++j) {

distance_y = left_part_points[i].y_ > right_part_points[j].y_ ? left_part_points[i].y_ - right_part_points[j].y_ :

right_part_points[j].y_ - left_part_points[i].y_;

if (distance_y <= min_distance) {

point_distance = Distance(left_part_points[i], right_part_points[j]);

if (point_distance < min_distance) {

min_distance = point_distance;

*point1 = left_part_points[i];

*point2 = right_part_points[j];

}

}

}

}

return min_distance;

} else {

return 0x7FFFFFFF;

}

}

int main(int argc, char** argv) {

std::vector<Point> points;

points.push_back(Point(2,3));

points.push_back(Point(1,4));

points.push_back(Point(3,0));

points.push_back(Point(5,0));

points.push_back(Point(5,1));

sort(points.begin(), points.end(), Point::OrderByX);

Point point1;

Point point2;

NearestPoints(points, 0, points.size() - 1, &point1, &point2);

printf("Point1: (%d, %d) <--> Point2: (%d, %d)\n", point1.x_, point1.y_, point2.x_, point2.y_);

}

其中，寻找矩形带内的点可以通过二分搜索来寻找，为了简单，用了循环来寻找。

参考文献：

编程之美 2.11