（1.5.2.6）精准表达浮点数

题目来自编程之美

题目：



举例：

0.3333(3333) = 1/3

0.285714(285714) = 2/7

0.3(000) = 3/10

0.25 = 1/4

思路：

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，而且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a1a2…an，要么为无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X的表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的数字，括号部分（b1b2…bm）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a1a2…an来说，这个问题比较简单，X就等于（a1a2…an）/10^n。

对于无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X=0.a1a2…an（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an.（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an+0.（b1b2…bm）

=>X=(a1a2…an+0.（b1b2…bm）)/10^n

对于整数部分a1a2…an，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：

令Y=0.b1b2…bm，那么

10^m*Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

=>10^m*Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

=>10^m*Y-Y=b1b2…bm

=>Y=b1b2…bm/（10^m-1）

将Y代入前面的X的等式可得：

X=(a1a2…an+Y)/10^n

=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n

=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)

至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化成（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3*（10^2-1）+33）/（（10^2-1）*10）

=（3*99+33）/990

=1/3

对于小数0.285714（285714），我们也可以算出：

0.285714（285714）

=（285714*（10^6-1）+285714）/（（10^6-1）*10^6）

=（285714*999999+285714）/999999000000

=285714/999999

=2/7

代码：

代码的实现，

1、有无限循环部分。主要通过对string进行处理，获得循环和非循环部分，然后通过atoi函数来实现字符串到整形数组的转换。

最后通过上面的推导的公式来实现求分数，然而分数要求简化，那么我们需要对分子和分母同时除以最大公约数，gcd（a,b）.

2、只有有限部分。直接求解。

C++ Code

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

#include <iostream> #include <string> #include <assert.h> #include <math.h> using namespace std; long long Gcd(long long x, long long y) { if (y > x) { return Gcd(y, x); /*要求x > y*/ } return y == 0 ? x : Gcd(y, x - y); } void RepresentExactly(string strNum) { assert(strNum != ""); string strLimited; string strUnLimited; int nLenLimited = 0; int nLenUnLimited = 0; long long llMolecule = 0; long long llDenominator = 0; int nLimited = 0; int nUnLimited = 0; long long llGcd = 0; double x = 10;//指数的底数 string::size_type Start = strNum.find('('); if (Start != strNum.npos)//找到 { string::size_type End = strNum.find(')', Start); //取出两部分字符串 strLimited = strNum.substr(2, Start - 2); strUnLimited = strNum.substr(Start + 1, End - Start - 1); //获得两部分字符串的长度 nLenLimited = strLimited.size(); nLenUnLimited = strUnLimited.size(); assert(nLenLimited > 0 && nLenUnLimited > 0); //获得两部分字符串对应的整数 nLimited = atoi(strLimited.c_str()); nUnLimited = atoi(strUnLimited.c_str()); //求对应分数的分子和分母 llMolecule = static_cast<long long>(nLimited * (pow(x, nLenUnLimited) - 1) + nUnLimited); llDenominator = static_cast<long long>(pow(x, nLenLimited) * (pow(x, nLenUnLimited) - 1)); llGcd = Gcd(llMolecule, llDenominator); cout << llMolecule / llGcd << " / " << llDenominator / llGcd << endl; } else { strLimited = strNum.substr(2); nLenLimited = strLimited.size(); llMolecule = atoi(strLimited.c_str()); llDenominator = static_cast<long long>(pow(x, nLenLimited)); llGcd = Gcd(llMolecule, llDenominator); cout << llMolecule / llGcd << " / " << llDenominator / llGcd << endl; } } int main() { //string str = "0.3333(3333)"; //string str = "0.285714(285714)"; //string str = "0.33(3)"; //string str = "0.3(000)"; string str = "0.25"; //string str = "0.30"; RepresentExactly(str); system("pause"); return 1; }