连续时间傅里叶变换和拉普拉斯变换的真正实际含义

通过信号与系统的学习，我们学习了解了傅里叶变换，拉普拉斯变换，但就实际的理论意义或许没有了解清楚

在此，写下我对于傅里叶变换，拉普拉斯变换真正含义的理解。  

1.傅里叶变换     

任意满足狄利克里条件的信号，都可以利用傅里叶级数来表示。  

 连续时间的周期信号可以利用傅里叶级数可以表示为   即： 

它的意义即连续时间周期信号可以用一系列正弦信号叠加而成.例如一个周期矩形   信号

经过傅里叶变换分析可得出一系列的频率分量的正弦信号叠加，这些频率分量分别是基波（周期矩形信号的频率1/T）及其高次谐波。周期信号都可以利用一个周期内的信号进行傅里叶级数求和的方法，用正弦信号来逼近原始信号。正弦信号叠加后的效果如下图所示，可见如果用无限多个正弦信号叠加，那么就可以叠加出原始信号了。如下图所示

对于连续非周期信号，只要满足绝对可积条件 傅里叶变换仍然存在，此时傅里叶变换公示的推导可以将非周期信号连续信号看成周期为无限宽的周期信号；推导如下 :

     将Fn带入可得   由于连续时间的非周期信号的周期无限大，因此它的谱线间隔趋于无穷小，所以nΩ趋于连续变量ω, 1/T=2π/dω，∑符号需改成积分号，所以原式子就可以化为:          

F(jw)为一个复函数，称作频谱密度函数，因为(1/2π)F（jw）*dw才为对应频率分量的幅度，此时的连续时间非周期信号，可由连续频率的正弦信号叠加，频率已成连续了,此时，f(t)可以表示成，有许多复指数信号叠加而成，复指数信号可以表示正弦信号，换算关系可由欧拉公式得出，引入复指数信号是为了计算的方便，     

2.拉普拉斯变换     

对于不满足与绝对可积的信号，例如     其中α>0,此信号的傅里叶变换不存在，也就是说此信号无法用正弦信号叠加而成，那么可以换一种思路，换用震荡幅度不断加大的信号来叠加此信号，此时就是拉普拉斯变换真正含义了。      

拉普拉斯变换的定义为    

可见进行拉普拉斯变换时需要对原信号乘以一个衰减因子，然后进行傅里叶变换的，恢复原信号时是用震荡信号幅度增大信号来叠加。  

傅里叶变换的和拉普拉斯变换的用处：     自然界的种种模拟信号都富含有许多的频率成分，他们往往在时间域上是杂乱无章的，但是如果经过变换转到频率域上来，那么信息就会变得井然有序了，我们就可以分析信号成分了。例如语音信号，在时域上用示波器看的话根本看不出什么有效信息，一旦分解后那么就容易看了。