线性代数导论13——第一阶段总结
2015-04-16 20:02
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本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第十三课时:第一阶段总结
应该说第一阶段复习,本讲主要以一些精要例子来增强对概念的理解,还有一些重要的真命题。
题1:已知Ax和x,如下
1)求行向量的生成空间的维数
由已知可得A是3×3的矩阵,A的零空间的维数是2,可从通解中看到,所以行空间的维数是3-2=1
2)矩阵A是怎样的
由x为(2 0 0)可得,A的第一个列向量的两倍是(2 4 2),得A的第一列为(1 2 1),然后,一个矩阵的零空间包含(0 0 1),这说明矩阵的最后一列均为0,最后由零空间向量(1 1 0)可得A第二列为(-1 -2 -1)。
3)向量b满足什么条件时,Ax=b有解
很明显向量b在列空间时有解,所以实际上是在求列空间。
题2:如果方阵A的零空间只包含零向量,那它的转置矩阵的零空间也只包含零向量。(由行空间的维数和列空间的维数相等可推出)
题3:如下矩阵B,在没做乘法之前完成以下问题:
1)B的零空间的基是什么?
左边是可逆矩阵,如果C是可逆矩阵的话,那么零空间N(CD)=N(D),零空间不会因为C而改变。那么B的零空间可有由右侧矩阵得出。
2)求解Bx=(1 0 1)的通解,只要得到特解和零空间就可得到通解=Xp+Xn
因为B的第一列和b(1 0 1)是一样的,所以可以得到一个特解(1 0 0 0),加上(1)得到的零空间即可。
题4:如果矩阵A,B的四个基本子空间都一样,那么是否有A=cB,c是常数。否,如果A和B都是由4×4的线性无关的列向量组成。那么A,B都是满秩,四个基本子空间都一样。
题5:如果交换一个矩阵中的两行,行空间和零空间不变,列空间和左零空间改变。
题6:为什么向量v=(1 2 3)不能同时为一个矩阵的行向量和零空间的一个向量,即v为什么不能同时存在于行空间和零空间。行空间和零空间的交集只有零向量。实际上,零空间与行空间正交。
第十三课时:第一阶段总结
应该说第一阶段复习,本讲主要以一些精要例子来增强对概念的理解,还有一些重要的真命题。
题1:已知Ax和x,如下
1)求行向量的生成空间的维数
由已知可得A是3×3的矩阵,A的零空间的维数是2,可从通解中看到,所以行空间的维数是3-2=1
2)矩阵A是怎样的
由x为(2 0 0)可得,A的第一个列向量的两倍是(2 4 2),得A的第一列为(1 2 1),然后,一个矩阵的零空间包含(0 0 1),这说明矩阵的最后一列均为0,最后由零空间向量(1 1 0)可得A第二列为(-1 -2 -1)。
3)向量b满足什么条件时,Ax=b有解
很明显向量b在列空间时有解,所以实际上是在求列空间。
题2:如果方阵A的零空间只包含零向量,那它的转置矩阵的零空间也只包含零向量。(由行空间的维数和列空间的维数相等可推出)
题3:如下矩阵B,在没做乘法之前完成以下问题:
1)B的零空间的基是什么?
左边是可逆矩阵,如果C是可逆矩阵的话,那么零空间N(CD)=N(D),零空间不会因为C而改变。那么B的零空间可有由右侧矩阵得出。
2)求解Bx=(1 0 1)的通解,只要得到特解和零空间就可得到通解=Xp+Xn
因为B的第一列和b(1 0 1)是一样的,所以可以得到一个特解(1 0 0 0),加上(1)得到的零空间即可。
题4:如果矩阵A,B的四个基本子空间都一样,那么是否有A=cB,c是常数。否,如果A和B都是由4×4的线性无关的列向量组成。那么A,B都是满秩,四个基本子空间都一样。
题5:如果交换一个矩阵中的两行,行空间和零空间不变,列空间和左零空间改变。
题6:为什么向量v=(1 2 3)不能同时为一个矩阵的行向量和零空间的一个向量,即v为什么不能同时存在于行空间和零空间。行空间和零空间的交集只有零向量。实际上,零空间与行空间正交。
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