算法导论思考题9-3小顺序统计量问题

一、题目

要在n个数中选出第i个顺序统计量，SELECT在最坏情况下需要的比较次数T(n)满足T(n)=θ(n)。但是，隐含在θ记号中的常数项是非常大的。当i相对n来说很小时，我们可以实现一个不同的算法，它以SELECT作为子程序，但在最坏情况下，所做的比较次数更少。

a.设计一个能用Ui(n)次比较在n个元素中找出第i小元素的算法，其中，



（提示：从⌊n/2⌋个不相交的对的两两比较开始，然后对由每对中的较小元素构成的集合进行递归。）

二、解题思路



假设输入数组为A[p]，A[p+1],...,A[p+n-1],共n个数

1、首先，取m=⌊n/2⌋,将输入数组进行划分，第一组第1...m个数，第二组为第m+1...2m个数，如果n为奇数，还会多一个数未分组A[2m+1].

2、分别对两部分的第j个数进行比较（0≤j≤m)，就是A[p]和A[p+m],A[p+1]和A[p+m+1],...,如果A[p+j]<A[p+m+j],则交换它们，即把较小元素放到A[p+m+j]，较大元素放到A[p+j]。

3、对A[p+m]...A[p+n-1]递归执行1、2，这里要注意，如果递归中对两个分组的元素进行调换，那么他们上一层分组左侧组相应位置也得调换，依次类推，上上层以及更多层的相应位置都得调换，保证每个分组左侧一组依次大于右侧一组。

拿上图来说，将12个元素划分为蓝色与红色两部分，分别比较Aj和Bj(j=1...6),小的放到Bj里，然后再对红色部分划分为两部分，如果B4>B1,交换B4与B1,同时交换A4与A1,交换后元素大小如箭头所示。再对红色右半部分划分，如果B4<B5,须交换B4、B5,同时交换B1与B2、A1与A2、A4与A5.

4、每递归一次，分组就减少一半，当i大于等于分组元素个数的一半时，停止递归，采用SELECT方法对最后分组L划分，此时L前i个数是该分组最小的i个数，倒数第二个分组L1元素依次大于L，那么L和L1的第i小数就在L的前i个数和L1的前i个数之中，利用SELECT对这2i个数操作(如果n为奇数，就将最后一个数也加进去），找到这两分组前i小的数，返回上一层调用当中。

5、在上一层调用中，用SELECT对左右分组前i个数共2i个数操作，然后再返回，直到顶层。

三、伪代码如下：(SELECT()为9.3节最坏情况线性时间选择算法，与书中稍有不同，这里需要同时交换各层次分组相同位置的元素）

S_SELECT(A,p,r,i,g)

n = r-p+1;

if i>=n/2

SELECT(A,p,r,i,g)//▲

else

m = ⌊n/2⌋

g[]=m;//数组g保存各次分组的大小

for j=0 to m-1

if A[p+j] < A[p+m+j]

exchange(A[p+j],A[p+m+j]）//▲

S_SELECT(A,p+m,r,g)

B=array()

for j=1 to i

B[j] = A[p+j-1]

B[j+i]=A[p+m+j-1]

if n is odd//如果n是奇数，那么最后会多出来一项

B[2i+1] = A[p-1+n]

B = SELECT(B,1,2i+1,i)

else B = SELECT(B,1,2i,i)//此时B[1]...B[i]是B前i小的数

A[p]...A[p+i-1] = B[1]...B[i]//▲

return A[p+i-1]

加黑色三角处需要同时交换各层次分组相同位置的元素，写起来比较复杂，代码中没有体现出来。