向量点乘 和 叉乘

向量点乘

点乘结果是一个标量，并满足交换律

向量a = (ax,ay);

向量b = (bx,by);

a . b = ax * bx + ay * by = ||a|| * ||b|| * cosA; A 为两向量的夹角。

几何意义：点乘结果描述了两个向量的“相似”程度。点乘结果越大，两向量越相近。（点乘对零向量的解释是，零向量和其它任意向量都垂直）

a . b > 0 : 0 <= A < 90 方向基本相同

a . b = 0: A <= 90 正交

a . b < 0: 90 < A <= 180; 方向基本相反

向量叉乘（仅可用于3D向量）

叉乘结果是一个向量，且不满足交换律。

a = (ax, ay, az);

b = (bx, by, bz);

a x b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by-ay*bx);

a . b x c = a * (b x c); 即叉乘的优先级比点乘高

a x b = -(b x a);

(a x b) x c != a x (b x c);

几何解释：

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。

|| a x b || = ||a|| ||b|| sinA （A为两向量的夹角）

点乘对零向量的解释：它平行于任意其它向量。

当然，定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的，因为零向量没有方向。

叉乘的方向：

a x b的方向： 将a 的头连接到b 的尾，并检查a 到b是顺时针还是逆时针，能够确定axb的方向。

左手坐标系中：

a x b 顺时针，a*b 指向纸外，即我们，逆时针，a*b 指向纸内，即和我们眼睛看的方向一样。

右手坐标系相反。