【算法导论】 第十课 平衡搜索树

树的结构，如果不能保持平衡，那么其搜索性能会大大打折扣，而本节课介绍了几种经典的平衡树，如***L，2-3-4tree，红黑树等等，然后着重讲了红黑树，接下来就红黑树的基本性质，作一些简短的总结。


首先，红黑树除了具有BST的基本性质外，还额外拥有以下的五大基本性质：

1）每个结点有一个色域，一个结点要么为黑结点，要么为红结点

2）根节点为黑结点

3）每个叶子结点都为黑结点（无键值）

4）每个红结点的父亲都为黑结点，即不可能出现两个红色结点相连的情况

5）从根节点到任意叶节点的路径中的黑色结点数目相等，这个数目也称为黑高度

由以上5点性质，可以保证红黑树的高度为O（lgn），证明如下：

将红黑树的所有红结点，都与其父节点（由性质四得其父节点必定为黑）合并，可以得到一颗2-3-4 tree（即每个结点的子节点数目为2~4个），由数据结构知识可得，原红黑树的叶子结点个数为带键值结点个数n+1，假设整棵树高度为h，那么叶子结点数应为h^2~h^4,因此有h^2<=n+1<=h^4,即此时树高度最高也只有log
n+1，即树的黑高度为log n+1,根据性质3，树最高情况也不过是红黑相间的时候，因此其高度最高只有2log n+1 ，即树的高度为O（lgn）。

红黑树的查询操作和普通BST一样，而删除和插入操作则相对复杂，因为我们要保证红黑树的5大性质，为什么需要保证这五大性质呢？因为这五大性质是红黑树为平衡树的保证，能够保证红黑树的高度为Olgn，这样红黑树的基本操作（删，插，查）都可以保证在Olgn的时间复杂度内完成。

接下来简单介绍一下插入操作是如何完成的,删除操作思路类似:

插入操作的原理就是插入一个红结点，然后通过向上重染色和旋转的方式维持红黑树的性质

这里有三种情况

case1 直线型 且祖父结点为黑，父节点和父亲兄弟结点为红 将祖父结点的黑传递到两个红子节点 每次向上传
递2个结点，树高度2lgn 所以操作为O（lgn）

case2 zigzag Z型 父亲兄弟结点为黑 旋转为case3 O（1）的旋转

case3 zigzig直线型 旋转

由以上三种情况可得，插入的时间复杂度为重染色的Olgn+不超过3次的O(1)的旋转操作

这里值得一提的是，在实际的运用中，虽然向上重染色理论上花费的时间多于旋转，但是当多个用户并发查询访问红黑树的时候，重染色并不会影响查询，因为用户并不关心每个结点的颜色，但是旋转需要锁定该子树及其结点，可能会影响并发查询的操作。

最后，就***L和红黑树做一下比较，就平衡程度而言，***L是追求的绝对平衡，任意叶子结点的深度不会多于其他叶子结点深度+1，而红黑树只要求局部平衡，其红黑性保证了其平衡性，因此在维护平衡方面，红黑树只需要不超过3次旋转即可，这一点是***L树所做不到的，但查询方面，由于***L是绝对平衡，因此效率会略高于红黑树，实际应用中这一点并不明显，就统计性能而言，红黑树会优于***L，而C++
STL中的set、multiset、map、multimap等，都是红黑树的一种变体。

值得一提的是，平衡树都是动态的数据结构，其优势在于动态操作下，也能保持优越的查询效率，如果是静态数据，那么使用hash表效率会更高一些。