hdu 3923 Invoker (polya,扩展gcd)

题意：

n种颜色串成m长度的环的方案数，赤裸裸的polya，ans/(2*n)%MOD要用到乘法逆元，用扩展欧几里得求解。

题解：

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

if(b==0)

{

x=1;

y=0;

return a;

}

int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);

int t=x;

x=y;

y=t-a/b*y;

return r;

}

a*x=1(mod b) (gcd(a,b)=1，否则无解)

x称为a关于b的乘法逆元.

关于求乘法逆元可以用扩展的欧几里得算法来求

a*x=1(mod b)

=> a*x=b*y+1.

=> a*x-b*y=1.

接着用扩展欧几里得算法求解x。

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define B(x) (1<<(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int64 LL;
void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; }
void cmax(ll& a,ll b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(ll& a,ll b){ if(b<a)a=b; }
void add(int& a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }
void add(ll& a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1000000007;

ll quick_pow(ll a,ll k){
    ll ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

ll extend_gcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }else{
        ll d=extend_gcd(b,a%b,x,y);
        ll t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
        return d;
    }
}

int main()
{
    int T,c,n;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++){
        scanf("%d %d",&c,&n);
        if(n==0){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans=0;
        if(n&1){
            add(ans,quick_pow(c,(n-1)/2+1)*n%MOD,MOD);
            for(int i=1;i<=n;i++)
                add(ans,quick_pow(c,gcd(n,i)),MOD);
        }else{
            add(ans,quick_pow(c,(n-2)/2+2)*n/2%MOD,MOD);
            add(ans,quick_pow(c,n/2)*n/2%MOD,MOD);
            for(int i=1;i<=n;i++)
                add(ans,quick_pow(c,gcd(n,i)),MOD);
        }
        ll x=0,y=0;
        extend_gcd(2*n,MOD,x,y);
        ans=(ans*x%MOD+MOD)%MOD;
        printf("Case #%d: ",cas);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}