【BZOJ 3576】 [Hnoi2014]江南乐

3576: [Hnoi2014]江南乐

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Description

小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。 游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。

小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

Input

输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

Output

输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

Sample Input

4 3

1 1

1 2

1 3

1 5

Sample Output

0 0 1 1

HINT

对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。

以上所有数均为正整数。

博弈论。

每一堆石子是独立的子游戏，我们考虑一堆石子。

他的后继状态就是被分成的mm堆的异或值。

如果暴力来算：

枚举分成的堆数，对每一堆的值求异或和，时间是O(石子数量2)O(石子数量^2)，会超时。

因此需要运用一点数学知识来解决：

当前堆的石子个数为ii，那么他分成jj堆后会有nk=j−i%knk=j-i\%k堆个数为k=i/jk=i/j的的石子；还会有nk1=i%knk1=i\%k堆个数为k+1k+1的石子。

举个例子，当i=100i=100 j=34j=34时，k=2k=2；j=50j=50是，k=2k=2，也就是说在34−5034-50这一段区间内，每堆的石子个数都是22和33，那么在这段区间内求得的sg值都是[(nk[(nk &1)∗sg[2]]XOR[(nk1 1)*sg[2]] XOR[(nk1&1)∗sg[3]]1)*sg[3]]

【堆数为偶数的时候异或偶数次相当于0】

可是在这段区间内什么时候nknk为奇数，什么时候nk1nk1为奇数呢？

nk1=i−k∗jnk1=i-k*j，因为i,ki,k已经确定，nk1nk1只取决于jj的奇偶性，而nk1nk1确定nknk就确定了，所以只需要枚举前两个jj即可。

所以，最终计算一堆个数为ii的时间复杂度为O(i√)O(\sqrt i )

(因为ii除以11到ii的数只有i√个取值\sqrt i个取值)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define M 100100
using namespace std;
int sg[M],v[M],T,f;
void Prepare()
{
for (int i=0;i<f;i++)
sg[i]=0;
for (int i=f;i<=M-100;i++)
{
int pos;
for (int j=2;j<=i;j=pos+1)
{
int k=i/j;
pos=i/k;
int nk1=i%j,nk=j-nk1;
v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
if (j+1<=min(i,pos))
{
nk1=i%(j+1),nk=j+1-nk1;
v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
}
}
for (int j=0;;j++)
if (v[j]!=i)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&f);
Prepare();
while (T--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
int ans=0,x;
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&x),ans^=sg[x];
if (!T) printf("%d\n",!ans?0:1);
else printf("%d ",!ans?0:1);
}
return 0;
}

感悟：

一开始WA是因为没有对奇偶性分析清楚。