期望的一个性质---可加性

想写这篇文章的一个动力是这道题：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5194
这是BestCoder35比赛的第一题。想了半天只会暴力方法。附上原题作者给的解答：

题目意思就是：

n个黑球，m个白球。现在不放回的拿球直到没有球可拿。拿出黑的记1.白的记0。整个序列出现“01”的次数的期望

原文解答中提到了期望的可加性。呜，这个当时已经忘了。今天准备复习概率论某个知识点的时候，顺便复习了一下这个性质。

这个性质就是：

E(X+Y)=E(X)+E(Y);

证明如下：



注意，证明过程中没有要求X，Y独立。

这个就是我要说的性质~。

回到题目：

这个题目中，我们可以定义随机变量Xi为：






则有：

X=x1+x2+x3+...

且，E(xi)=p(xi=1)=(m/m+n)(n/m+n-1)

则E(X)=E(X1+X2+X3+...X(m+n-1))

=E(1)+E(2)+...+E(m+n-1)

=mn/(m+n)

高教社《概率论与数理统计》盛骤老师所著一书中有一道例题，也在这里附上，供比较。

注意此题中强调独立是为了计算概率。期望的可加性不需要独立。