矩阵乘法 之 strassen 算法

一般情况下矩阵乘法需要三个for循环，时间复杂度为O(n^3)，现在我们将矩阵分块



一般算法需要八次乘法

r = a * e + b * g ;

s = a * f + b * h ;

t = c * e + d * g;

u = c * f + d * h;

strassen将其变成7次乘法，因为大家都知道乘法比加减法消耗更多，所有时间复杂更高！

strassen的处理是：

令：

p1 = a * ( f - h )

p2 = ( a + b ) * h

p3 = ( c +d ) * e

p4 = d * ( g - e )

p5 = ( a + d ) * ( e + h )

p6 = ( b - d ) * ( g + h )

p7 = ( a - c ) * ( e + f )

那么我们可以知道：

r = p5 + p4 + p6 - p2

s = p1 + p2

t = p3 + p4

u = p5 + p1 - p3 - p7

我们可以看到上面只有7次乘法和多次加减法，最终达到降低复杂度为O( n^lg7 ) ~= O( n^2.81 );

代码实现如下：

// strassen 算法：将矩阵相乘的复杂度降到O(n^lg7) ~= O(n^2.81)
// 原理是将8次乘法减少到7次的处理
// 现在理论上的最好的算法是O(n^2,367)，仅仅是理论上的而已
//
//
// 下面的代码仅仅是简单的实例而已，不必较真哦，呵呵~
// 下面的空间可以优化的，此处就不麻烦了~

#include <stdio.h>

#define  N  10

//matrix + matrix
void plus( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2] )
{
int i, j;
for( i = 0; i < N / 2; i++ )
{
for( j = 0; j < N / 2; j++ )
{
t[i][j] = r[i][j] + s[i][j];
}
}
}

//matrix - matrix
void minus( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2] )
{
int i, j;
for( i = 0; i < N / 2; i++ )
{
for( j = 0; j < N / 2; j++ )
{
t[i][j] = r[i][j] - s[i][j];
}
}
}

//matrix * matrix
void mul( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2]  )
{
int i, j, k;
for( i = 0; i < N / 2; i++ )
{
for( j = 0; j < N / 2; j++ )
{
t[i][j] = 0;
for( k = 0; k < N / 2; k++ )
{
t[i][j] += r[i][k] * s[k][j];
}
}
}
}

int main()
{
int i, j, k;
int mat

;
int m1

;
int m2

;
int a[N/2][N/2],b[N/2][N/2],c[N/2][N/2],d[N/2][N/2];
int e[N/2][N/2],f[N/2][N/2],g[N/2][N/2],h[N/2][N/2];
int p1[N/2][N/2],p2[N/2][N/2],p3[N/2][N/2],p4[N/2][N/2];
int p5[N/2][N/2],p6[N/2][N/2],p7[N/2][N/2];
int r[N/2][N/2], s[N/2][N/2], t[N/2][N/2], u[N/2][N/2], t1[N/2][N/2], t2[N/2][N/2];

printf("\nInput the first matrix...:\n");
for( i = 0; i < N; i++ )
{
for( j = 0; j < N; j++ )
{
scanf("%d", &m1[i][j]);
}
}

printf("\nInput the second matrix...:\n");
for( i = 0; i < N; i++ )
{
for( j = 0; j < N; j++ )
{
scanf("%d", &m2[i][j]);
}
}

// a b c d e f g h
for( i = 0; i < N / 2; i++ )
{
for( j = 0; j < N / 2; j++ )
{
a[i][j] = m1[i][j];
b[i][j] = m1[i][j + N / 2];
c[i][j] = m1[i + N / 2][j];
d[i][j] = m1[i + N / 2][j + N / 2];
e[i][j] = m2[i][j];
f[i][j] = m2[i][j + N / 2];
g[i][j] = m2[i + N / 2][j];
h[i][j] = m2[i + N / 2][j + N / 2];
}
}

//p1
minus( r, f, h );
mul( p1, a, r );

//p2
plus( r, a, b );
mul( p2, r, h );

//p3
plus( r, c, d );
mul( p3, r, e );

//p4
minus( r, g, e );
mul( p4, d, r );

//p5
plus( r, a, d );
plus( s, e, f );
mul( p5, r, s );

//p6
minus( r, b, d );
plus( s, g, h );
mul( p6, r, s );

//p7
minus( r, a, c );
plus( s, e, f );
mul( p7, r, s );

//r = p5 + p4 - p2 + p6
plus( t1, p5, p4 );
minus( t2, t1, p2 );
plus( r, t2, p6 );

//s = p1 + p2
plus( s, p1, p2 );

//t = p3 + p4
plus( t, p3, p4 );

//u = p5 + p1 - p3 - p7 = p5 + p1 - ( p3 + p7 )
plus( t1, p5, p1 );
plus( t2, p3, p7 );
minus( u, t1, t2 );

for( i = 0; i < N / 2; i++ )
{
for( j = 0; j < N / 2; j++ )
{
mat[i][j] = r[i][j];
mat[i][j + N / 2] = s[i][j];
mat[i + N / 2][j] = t[i][j];
mat[i + N / 2][j + N / 2] = u[i][j];
}
}

printf("\n下面是strassen算法处理结果：\n");
for( i = 0; i < N; i++ )
{
for( j = 0; j < N; j++ )
{
printf("%d ", mat[i][j]);
}
printf("\n");
}

//下面是朴素算法处理
printf("\n下面是朴素算法处理结果：\n");
for( i = 0; i < N; i++ )
{
for( j = 0; j < N; j++ )
{
mat[i][j] = 0;
for( k = 0; k < N; k++ )
{
mat[i][j] += m1[i][j] * m2[i][j];
}
}
}

for( i = 0; i < N; i++ )
{
for( j = 0; j < N; j++ )
{
printf("%d ", mat[i][j]);
}
printf("\n");
}

return 0;
}

现在最好的计算矩阵乘法的复杂度是O( n^2.376 )，不过只是理论上的结果。此处仅仅做参考~