[CF 273D]Dima and Figure解题报告

题目翻译

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1925

题解

就是DP……
F[k][mask][i][j]代表：当前图形的最下端是第k行，左右边界的开放/收缩情况是mask，第k行涂黑了i~j列。
具体讲，mask=0代表左右边界均收缩，mask=1代表左开放右收缩，mask=2代表左收缩右开放，mask=3代表左右均开放。
“收缩”左边界的意思是：在第k行之前的每一行，涂黑部分最左都没有越过i，右边界就是最右没有越过j。
“开放”左边界的意思是：在第k行之前的某一行，涂黑部分最左越过了i，右边界就是某一行越过了j。
显然，收缩边界只能由收缩边界转移而来，否则就不满足那个曼哈顿距离的条件了。更准确地说，左右边界都是①一直开放，②一直收缩，③先一直收缩再一直开放（纺锤形）三种情况之一。
裸这样做复杂度太高，可以给F数组记一个前缀和S，用前缀和快速求区间和。
同时，F和S数组可以互相滚动（这样就去掉了k那一维），非常方便。
转移……就是各种分类讨论吧，详见代码

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1000000007;
const int SIZEN=160;
int N,M;
//0代表"不严格收缩性",1代表"严格扩张性"
LL F[4][SIZEN][SIZEN];
LL S[4][SIZEN][SIZEN];
LL realmod(LL x){
x%=MOD;
if(x<0) x+=MOD;
return x;
}
void add(LL &a,LL b){
a=realmod(a+b);
}
void prepare_pref(LL f[SIZEN][SIZEN],LL s[SIZEN][SIZEN]){
//s中该空的都空着
for(int i=1;i<=M;i++){
for(int j=1;j<=M;j++){
s[i][j]=realmod(s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+f[i][j]);
}
}
}
LL calc_sum(LL s[SIZEN][SIZEN],int x1,int x2,int y1,int y2){
if(x1>x2||y1>y2) return 0;
return realmod(s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
}
void prepare_row(void){
for(int k=0;k<4;k++) prepare_pref(F[k],S[k]);
}
void DP_row(void){//用S去计算F
for(int i=1;i<=M;i++){
for(int j=i;j<=M;j++){
/*0:两个边界均为收缩性边界*/
F[0][i][j]=1;//连通块从这一行开始
add(F[0][i][j],calc_sum(S[0],i,j,i,j));
/*1:左边界为扩张性边界,右边界为收缩性边界*/
//此时,上一行的右边界必为收缩性边界,左边界则二者均可能
F[1][i][j]=0;
//左收缩右收缩:
add(F[1][i][j],calc_sum(S[0],1,i-1,i,j));
//左扩张右收缩:
add(F[1][i][j],calc_sum(S[1],1,i,i,j));
/*2:左边界为收缩性边界,右边界为扩张性边界*/
//此时,上一行的左边界必为收缩性边界,右边界则二者均可能
F[2][i][j]=0;
//左收缩右收缩:
add(F[2][i][j],calc_sum(S[0],i,j,j+1,M));
//左收缩右扩张:
add(F[2][i][j],calc_sum(S[2],i,j,j,M));
/*3:左边界和右边界均为扩展性边界*/
//此时,上一行的两个边界都是二者均有可能
F[3][i][j]=0;
//左收缩右收缩:
add(F[3][i][j],calc_sum(S[0],1,i-1,j+1,M));
//左扩张右收缩:
add(F[3][i][j],calc_sum(S[1],1,i,j+1,M));
//左收缩右扩张:
add(F[3][i][j],calc_sum(S[2],1,i-1,j,M));
//左扩张右扩张:
add(F[3][i][j],calc_sum(S[3],1,i,j,M));
}
}
}
void work(void){
LL ans=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
DP_row();
prepare_row();
for(int k=0;k<4;k++){
add(ans,S[k][M][M]);
}
}
printf("%d\n",(int)ans);
}
int main(){
freopen("dimaandfigure.in","r",stdin);
freopen("dimaandfigure.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&N,&M);
work();
return 0;
}