数学基础：矩阵

矩阵的概念：

数学上，一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

如下是一个m×n的矩阵（m行n列）：

Am×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟A_{m×n}=(a_{ij})=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}

同型矩阵：

如果，矩阵Am×nA_{m×n}和矩阵Bm×nB_{m×n}都是m×n的矩阵，则这两个矩阵为同型矩阵。

矩阵相等：

如果矩阵Am×nA_{m×n}和矩阵Bm×nB_{m×n}互为同型矩阵，并且对应元素相等aija_{ij}=bijb_{ij}。则两个矩阵相等。

行向量与列向量：

行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成：

α=（a1,a2,⋯,an）=[a1a2⋯an]α=（a_1, a_2,\cdots,a_n）=
\begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\\
\end{bmatrix}


列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成。（列向量的转置是一个行向量，反之亦然）：

β=αT=（a1,a2,⋯,an）T=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮an⎤⎦⎥⎥⎥⎥β=α^T=（a_1, a_2,\cdots,a_n）^T=
\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\\
\end{bmatrix}

方阵（n阶矩阵）：

n行n列的矩阵是一个方阵，也叫做n阶矩阵，如AnA_{n}：

An×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟A_{n×n}=(a_{ij})=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{pmatrix}

零矩阵：

所有元素都是0的矩阵。

单位矩阵（E）：

主对角元素为1，其他元素为0的方阵是单位矩阵，如EnE_n：

En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100⋯⋯⋱⋯00⋮1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟E_{n}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1& \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{pmatrix}

数量矩阵（kE）：

主对角元素为K，其他元素为0的方阵是数量矩阵（就是一个数乘以一个单位矩阵），如kEnkE_n：

En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜k0000k00⋯⋯⋱⋯00⋮k⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟E_{n}=
\begin{pmatrix}
k & 0 & \cdots & 0\\
0 & k& \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & k\\
\end{pmatrix}

对角矩阵：

主对角是非零元素但未必相同，其他元素为0的方阵是对角矩阵，如λnλ_{n}：

λn=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜λ10000λ200⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟λ_{n}=
\begin{pmatrix}
λ_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & λ_{2}& \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & λ_{n}\\
\end{pmatrix}

矩阵的计算：

矩阵相加：

在同型矩阵中。两个m×n矩阵A和B的和，标记为A+B，得到的仍一是个m×n矩阵，其内的各元素为其相对应元素相加后的值。例如：

⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥+⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1+01+71+23+00+52+1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢183353⎤⎦⎥\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 \\
1+7 & 0+5 \\
1+2 & 2+1 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
8 & 5 \\
3 & 3 \\
\end{bmatrix}

矩阵相减：

A-B内的各元素为其相对应元素相减后的值：

⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥−⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−01−71−23−00−52−1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−6−13−51⎤⎦⎥\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1-0 & 3-0 \\
1-7 & 0-5 \\
1-2 & 2-1 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-6 & -5 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}

矩阵相乘：

当矩阵A的列数和矩阵B的行数相等时才有意义。

如Am×nA_{m×n}，Bn×pB_{n×p}，因为A的列（n）和B的行（n）相同，所以他们可以相乘，它们的乘积为ABm×pAB_{m×p};


例如A2×3A_{2×3}×B3×2B_{3×2}：

[1−10321]×⎡⎣⎢321110⎤⎦⎥=[(1×3+0×2+2×1)(−1×3+3×2+1×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×1+3×1+1×0)]=[5412]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-1 & 3 & 1\\
\end{bmatrix} ×
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1\\
1 & 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
(1×3+0×2+2×1) & (1×1+0×1+2×0) \\
(-1×3+3×2+1×1) & (-1×1+3×1+1×0) \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}





乘法不满足交换律 ： AB ≠ BA；

乘法结合律 ： （AB）C=A（BC）；

乘法分配律： A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA；

乘法和数乘结合律： λ（AB）=（λA）B=A（λB）；

单位矩阵满足： AE=EA=A；

零矩阵满足： 0m×nAs×n=0m×n0_{m×n}A_{s×n}=0_{m×n}，As×n0n×t=0s×tA_{s×n}0_{n×t}=0_{s×t}；

矩阵转置：

把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作ATA^T

A2×3=(142536),AT=⎛⎝⎜123456⎞⎠⎟3×2A_{2×3}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5& 6\\
\end{pmatrix}
,A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{pmatrix}_{3×2}




(AT)T=A(A^T)^T=A

(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T

(λA)T=λAT(λA)^T=λA^T

(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T

方阵的幂运算：

An×Am=An+mA^n×A^m=A^{n+m}

(An)m=Anm(A^n)^m=A^{nm}

A0=E(单位矩阵) A^0=E(单位矩阵)