[常微分方程]2014-2015-2第5教学周第2次课讲义 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法

1. 存在唯一性定理. 考虑 Cauchy 问题 $$\bee\label{3.1.cauchy} \sedd{\ba{ll} \frac{\rd y}{\rd x}&=f(x,y),\\ y(x_0)&=y_0, \ea} \eee$$其中

(1). $f(x,y)$ 在矩形区域 $$\bex R:\quad |x-x_0|\leq a,\quad |y-y_0|\leq b \eex$$ 上连续;

(2). $f(x,y)$ 在 $R$ 上关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件: $$\bex \exists\ L>0,\ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2|,\quad (x,y_1),(x,y_2)\in R. \eex$$ 则 \eqref{3.1.cauchy} 存在唯一的解 $\phi(x)$, 定义在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上, $$\bex h=\min\sed{a,\frac{b}{M}},\quad M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|. \eex$$ 证明:

(1). 仅需在 $[x_0,x_0+h]$ 上证明结论, 在 $[x_0-h,x_0]$ 上类似可证.

(2). 我们采用 Picard 逐步逼近法证明结论, 大致思想为: $$\bex \mbox{ode }\eqref{3.1.cauchy} \mbox{ 的解}\lra \mbox{ide }y=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y)\rd t\mbox{ 的解}; \eex$$ 令 $$\bee\label{3.1.picard} \phi_0(x)=y_0,\quad \phi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\phi_{n-1}(t))\rd t,\quad n=1,2,\cdots. \eee$$如果 $\sed{\phi_n(x)}$ 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上一致收敛于 $\phi(x)$, 则 $\sed{f(\phi_n(x))}$ 也一致收敛于 $f(t,\phi(t))$ (为什么?), 而在 \eqref{3.1.picard} 中令 $n\to\infty$ 有 $$\bex \phi(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\phi(t))\rd t, \eex$$ $\phi(x)$ 即为所求. 这里, $\phi_n(x)$ 称为第 $n$ 次近似解. 这种方法叫做逐步逼近法.

(3). $$\bex \mbox{ode }\eqref{3.1.cauchy} \mbox{ 的解}\lra \mbox{ide }y=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y)\rd t\mbox{ 的解}; \eex$$

(4). $|\phi_n(x)-y_0|\leq b$.

(5). $\sed{\phi_n(x)}$ 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上一致收敛.

(6). $\phi(x)$ 是 ide 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上的连续解.

(7). 唯一性.

2. 注记.

(1). 误差估计 $$\bee\label{3.1.error} |\phi_n(x)-\phi(x)|\leq \frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}. \eee$$

(2). ``Lipschitz 条件'' 常用 ``$f$ 在 $R$ 上对 $y$ 有连续的偏导数'' 代替.

(3). 若 \eqref{3.1.cauchy} 是线性的, $$\bee\label{3.1.linear} \frac{\rd y}{\rd x}=P(x)y+Q(x), \eee$$则当 $P(x),Q(x)$ 在 $[\al,\beta]$ 上连续时, 对任意初值 $(x_0,y_0),\ x_0\in (\al,\beta)$, \eqref{3.1.linear} 的解在整个 $[\al,\beta]$ 上都有定义.

(4). 对一阶隐式 ode $F(x,y,y')=0$, 我们有书上 Page 86 的定理.

3. 作业. Page 88 T 3, Page 89 T 6.